Перпендикулярность прямых и плоскостей Автор: Елена Юрьевна Семенова. - презентация

1 Перпендикулярность прямых и плоскостей Автор: Елена Юрьевна Семенова

2 Содержание Перпендикулярные прямые в пространстве Лемма Определение прямой, перпендикулярной к плоскости Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых к плоскости Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых к плоскости Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к данной плоскости Теорема о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к данной плоскости Перпендикуляр и наклонные Теорема о трех перпендикулярах Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Угол между прямой и плоскостью

3 Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 о а b с а bc b α

4 Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. A C a α M b c Дано: а || b, a c Доказать: b c Доказательство:

5 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости α а а α

6 Теорема 1 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. α х Дано: а || а 1 ; a α Τ Доказать: а 1 α Τ Доказательство: a а1а1

7 Теорема 2 α Доказать: а || b Доказательство: a Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. β b1b1 Дано: а α; b α b M с

8 Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. α q Доказать: а α Доказательство: a p m O Дано: а p; a q p α; q α p q = O

9 α q l m O a p B P Q Доказательство: L а) частный случай A

10 α q a p m O Доказательство: а) общий случай a1a1

11 Теорема 4 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. α а β М b с

12 Перпендикуляр и наклонные М А В Н α МН α А α В α МА и МВ – наклонные Н α АН и ВН – проекции наклонных МН – перпендикуляр М α

13 Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной. А НМ α β а Дано: а α, АН α, АМ – наклонная, а НМ, М а Доказать: а АМ Доказательство:

14 Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А НМ α β а Дано: а α, АН α, АМ – наклонная, а АМ, М а Доказать: а НМ Доказательство:

15 Угол между прямой и плоскостью А Н α β а О φ (а ; α) = АОН = φ