1.И з у ч и т ь т е м у « К в а д р а т н ы е у р а в н е н и я ». 2.И с с л е д о в а т ь з а в и с и м о с т ь м е ж д у к о э ф ф и ц и е н т а м и. - презентация

1

2

3 1.И з у ч и т ь т е м у « К в а д р а т н ы е у р а в н е н и я ». 2.И с с л е д о в а т ь з а в и с и м о с т ь м е ж д у к о э ф ф и ц и е н т а м и и к о р н я м и к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я.

4 1. Изучить теорию вопроса: К вадратные уравнения. Виды квадратных уравнений. М етоды решения квадратных уравнений. З ависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. 2. Приёмы рационального решения квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов.

5 Квадратным уравнением называется уравнение вида a x ^ 2 + b x + c = 0 где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём а 0. a x^2 + b x + c = 0 Первый коэффициент Второй коэффициент Свободный член

6 Классификация. Квадратные уравнения. неполное полное а х ^ 2 + в х + с = 0 приведённое x ^ 2 + p x + q = 0 c = 0; a x ^ 2 + b x = 0 b = 0; c = 0; a x ^ 2 = 0 b = 0; a x ^ 2 + c = 0

7 «ДИСКРИМИНАНТ» - РАЗЛИЧИТЕЛЬ. Д = в^2 - 4 а с Д > 0 Д = 0 Д < 0 Уравнение имеет два действительных корня. Уравнение имеет два равных действительных корня. Уравнение не имеет корней. х 1 = (- в- Д )/ 2а; х 2 = (- в + Д )/2а х 1,2 = - в / 2а

8 Приёмы устного решения квадратных уравнений. a x ^2 + b x + c = 0. Основа: f (x) = a x ^2 + b x + c ; f (1) = a + b + c; f (- 1) = a - b + c. 1.Если a + b + c = 0, то один корень уравнения x = 1, а второй x = c/a. 2.Если a - b + c = 0, то один корень уравнения x = - 1, а второй x = - c/a.

9 3. Если a = c, b = a^2 + 1, то один корень уравнения x = - a, а второй x = -1/a. 4. Если a = c, b = -(a^2 + 1), то один корень уравнения x = a, а второй x = 1/a.

10 Теорема Виета. Если х 1 и х 2 корни приведённого квадратного уравнения х^2 + px + q = 0, то x 1 + x 2 = - p, а x 1 x 2 = q. Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = - p, mn = q, то эти числа являются корнями уравнения х^2 + px + q = 0. Обобщённая теорема: Числа х 1 и х 2 являются корнями приведённого квадратного уравнения х^2 + px + q = 0 тогда и только тогда, когда x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q. Следствие: х^2 + px + q = (х – х 1 )(х – х 2 )

11 Исследование знаков корней квадратного уравнения х^2 + px + q = 0, если Д > 0. q > 0q < 0 q = 0 p>0p0p 0, x 2 > 0. x^2+q=0 Корней нет x 1 < 0, x 2 > 0, Причём | x 1 |>| x 2 | x 1 > 0, x 2 < 0, Причём | x 1 |>| x 2 | x^2+q=0x^2=-q x 1 =- -q x 2 = - x 1 x^2 + px = 0 x(x + p) = 0, x 1 = 0 или x 2 = - p.

12 Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

13 Методы решения полных квадратных уравнений. ax^2 + bx + c = 0 Теорема Виета: x 1 + x 2 = -b/a, х 1 x 2 = c/a Общая формула корней: x 1,2 = (-b ± b^2 – 4ac)/2a Если a – b + c = 0, то x 1 = - 1; x 2 = - c/a. Если a ± b + c 0, то решить уравнение x^2 + bx + c = 0 и разделить полученные корни на a. Если a + b + c = 0, то x 1 = 1; x 2 = c/a. Общая формула с чётными коэффициентами: х 1,2 = (-b/a ± (b/2)^2 – ac)/a

14 Методы решения уравнений, сводящихся к квадратным. af^2(x) + bf(x) + c = 0. Метод введения новой переменной: 1)Замена: f(x) = t. 2)Решаем уравнение: at^2 + bt + c = 0. 3) Решаем уравнение: f(x) = t. Биквадратное уравнение: ax^4 + bx^2 + c = 0. Уравнение с переменной в знаменателе: p(x) / q(x) = 0. p(x) = 0, q(x) 0. Рациональное уравнение f(x) = q(x), где f(x) и q(x) – дробные выражения. 1.Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; 2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель; 3. Решить получившееся целое уравнение; 4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

15 Штифель (1486 – 1567) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду x^2 + bx = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c. Франсуа Виет (1540 – 1603) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа. Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. В XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

16 1.Алгебра. 8 класс. Под редакцией Теляковского С. А. М., Просвещение, 2002 г. 2.Сборник задач по алгебре. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. М., 1996 г. 3. Алгебра.Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. М., Просвещение, 2003 г.

17