Урок 6 Трехгранный угол. Теорема. В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360 и сумма любых двух из них больше третьего. Дано: Оabc – трехгранный. - презентация

1 Урок 6 Трехгранный угол

2 Теорема. В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360 и сумма любых двух из них больше третьего. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) =. Основное свойство трехгранного угла. Доказать: 1) + + < 360 ; 2)2) + > ; + > ; + >.

3 Доказательство I. Пусть < 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – ( ОАB + ОBA) < 180 – ((90 – ) + (90 – )) = +. Если < 90, то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90, то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) =. Доказать: 2) + > ; + > ; + >.

4 Формула трех косинусов. Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: 2) Угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов, которая эта прямая, образует с прямыми этой плоскости.

5 II. На ребрах данного угла отложим точки A, B и C так, что |OA| = |OB| = |OC| Тогда треугольники AOB, BOC и СOA – равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые. Для трехгранных углов с вершинами A, B и C применим неравенства, доказанные в пункте I: САB < 1 + 6; АBC < 2 + 3; BСА < Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + ( 5 + 6) = = (180 – ) + (180 – ) + (180 – ) + + < 360. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) =. Доказать: 1) + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + >.

6 III. Рассмотрим луч c – дополнительный лучу с и для трехгранного угла Оabc используем неравенство, доказанное в пункте II для произвольного трехгранного угла: (180 – ) + (180 – ) +. Аналогично доказываются и два остальных неравенства. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) =. Доказать: 1) + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + >. с

7 Следствие. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120.

8 Рис. 4б Определение. Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы. Признаки равенства трехгранных углов. Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны: 1)два плоских угла и двугранный угол между ними; 2) два двугранных угла и плоский угол между ними; 3) три плоских угла; 4) три двугранных угла.

9 .. Дан трехгранный угол Оabc. I.Пусть < 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB| 2 = |AC| 2 + |BC| 2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB| 2 = |AO| 2 + |BO| 2 – 2|AO| |BO| cos. Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO| 2 – |AC| 2 = |CO| 2 = |BO| 2 – |BC| 2 : 2|CO| 2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0. ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:

10 II. Пусть > 90 ; > 90, тогда рассмотрим луч с, дополнительный к с, и соответствующий трехгранный угол Оаbс, в котором плоские углы – и – – острые, а плоский угол и двугранный угол – те же самые. По I.: cos = cos( – ) cos( – ) + sin( – ) sin( – ) cos cos = cos cos + sin sin cos

11 III. Пусть 90, тогда рассмотрим луч a, дополнительный к a, и соответствующий трехгранный угол Оаbс, в котором плоские углы и – – острые, третий плоский угол – ( – ), а противолежащий ему двугранный угол – ( – ) По I.: cos( – ) = cos cos( – ) + sin sin( – ) cos( – ) cos = cos cos + sin sin cos a

12 IV. Пусть = 90 ; = 90, тогда = и равенство, очевидно, выполняется. Если же только один из этих углов, например, = 90, то доказанная формула имеет вид: cos = sin cos cos = cos(90 – ) cos Следствие. Если = 90, то cos = cos cos – аналог теоремы Пифагора!