Сумма углов n-угольника Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем. - презентация

1 Сумма углов n-угольника Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем все его диагонали. Тогда n-угольник разобьется на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о, и эти углы составляют углы n-угольника. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2).

2 Второй способ доказательства Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 o (n-2). Доказательство 2. Пусть O какая-нибудь внутренняя точка выпуклого n-угольника A 1 …A n. Соединим ее с вершинами этого многоугольника. Тогда n-угольник разобьется на n треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна 180 о. Эти углы составляют углы n-угольника и еще 360 о. Следовательно, сумма углов n- угольника равна 180 о (n-2).

3 Упражнение 1 Чему равна сумма углов выпуклого: а) 4- угольника; б) 5-угольника; в) 6-угольника? Ответ: а) 360 о ; б) 540 о ; в) 720 о.

4 Упражнение 2 Чему равен внешний угол правильного: а) 3- угольника; б) 4-угольника; в) 5-угольника; г) 6- угольника? Ответ: а) 120 о ; б) 90 о ; в) 72 о ; г) 60 о.

5 Упражнение 3 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого n- угольника равна 360 о. Доказательство. Внешний угол выпуклого многоугольника равен 180 о минус соответствующий внутренний угол. Следовательно, сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 180 о n минус сумма внутренних углов. Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180 о (n-2), то сумма внешних углов будет равна 180 о n о (n-2) = 360 о.

6 Упражнение 4 Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) восьмиугольника; е) десятиугольника; ж) двенадцатиугольника? Ответ: а) 60 о ;б) 90 о ;в) 108 о ;г) 120 о ; д) 135 о ;е) 144 о ;ж) 150 о.

7 Упражнение 5 Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300 о. Найдите четвертый угол. Ответ: 60 о.

8 Упражнение 6 Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их. Ответ: 36 о, 72 о, 108 o, 144 o.

9 Упражнение 7 В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD, B = 60 о, D = 110 о. Найдите угол A. Ответ: 95 о.

10 Упражнение 8 Сумма углов выпуклого многоугольника равна 900 o. Сколько у него сторон? Ответ: 7.

11 Упражнение 9 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внешних углов равен: а) 36 o ; б) 24 o ? Ответ: а) 10; б) 15.

12 Упражнение 10 Чему равна сумма углов невыпуклого четырехугольника ABCD? Ответ: 360 о.

13 Упражнение 11* Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4, 5 пятиугольной звездочки, изображенной на рисунке. Ответ: 180 о.

14 Упражнение 12* Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый n-угольник? Решение. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равны 360 о, то у выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов, следовательно, у него не может быть более трех внутренних острых углов. Ответ. 3.