Плоскость и прямая в пространстве Лекции 10, 11. Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому. - презентация

1 Плоскость и прямая в пространстве Лекции 10, 11

2 Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

3 Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначают нормаль

4 Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Пусть точки и лежат на плоскости. Тогда и, значит, их скалярное произведение равно нулю: -это уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору -.

5 М

6 Общее уравнение плоскости Из предыдущего уравнения легко получить общее уравнение плоскости

7 Частные случаи общего уравнения 1. -плоскость проходит через начало координат. 2. -плоскость параллельна оси OX. 3. -плоскость параллельна плоскости XOY. 4. -плоскость проходит через ось OX. 5. -это уравнение плоскости XOY. Остальные случаи рассмотреть самостоятельно.

8 Уравнение в «отрезках» Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него все слагаемые Введя соответствующие обозначения, имеем.

9

10 Уравнение плоскости, проходящей через три точки Пусть точки,, лежат на плоскости. Точка - текущая точка плоскости. П

11 Запишем координаты векторов: Эти векторы компланарны, т.к. лежат в одной плоскости. Следовательно их смешанное произведение равно нулю. Получаем уравнение:

12 Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:

13 Взаимное расположение плоскостей

14 Угол между плоскостями Даны две плоскости и : Тогда:

15 Условие перпендикулярности плоскостей Если плоскости перпендикулярны друг к другу, то соответственно перпендикулярны их нормальные векторы

16 Условие параллельности плоскостей Если плоскости параллельны друг к другу, то соответственно параллельны их нормальные векторы:

17 Расстояние от точки до плоскости

18 Пример Найти уравнение плоскости, проходящей через точки.

19 Решение В уравнение плоскости, проходящей через три точки, подставим координаты данных точек: Раскладывая определитель по элементам первой строки, имеем.

20 Прямая в пространстве.

21 Пусть прямая проходит через заданную точку параллельно данному вектору: M

22 Канонические уравнения прямой. -направляющий вектор прямой, -точка прямой. Тогда

23 Параметрические уравнения (вывести самостоятельно) t-переменный параметр.

24 Уравнение прямой, проходящей через две точки Точки и лежат на прямой. Вывод уравнения сделать самостоятельно.

25 Общее уравнение прямой Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей

26 каждое уравнение отдельно- это уравнение плоскости, которые пересекаются по прямой.

27 Чтобы перейти к каноническим уравнениям, возьмем в качестве направляющего вектор.

28 За точку, через которую проходит прямая, можно взять любую точку. Например, положить в системе одну из переменных равной нулю, а две другие найти из этих уравнений.

29 Пример Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система примет вид

30 Сложив уравнения, получим Тогда из второго уравнения Точка на прямой А(1; -2; 0).

31 Найдем направляющий вектор этой прямой: Получим канонические уравнения прямой

32 Взаимное расположение прямых в пространстве

33 Угол между прямыми Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами

34 Параллельность прямых Если то

35 Перпендикулярность прямых Если то

36 Взаимное расположение прямой и плоскости

37 Угол между прямой и плоскостью φ

38 Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость

39 Угол между прямой и плоскостью -нормаль плоскости П, -направляющий вектор прямой.

40 Ясно, что прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой перпендикулярен нормали плоскости т.е. если скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормали к плоскости равно нулю:

41 Условие параллельности прямой и плоскости Если то и

42 Условие перпендикулярности прямой и плоскости Прямая перпендикулярна плоскости при условии т.е. если то

43 Точка пересечения прямой и плоскости Пусть требуется найти точку пересечения прямой и плоскости Запишем параметрические уравнения прямой и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости.

44 Получим уравнение вида относительно параметра t. Выразив t из этого уравнения и подставив в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

45 Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.

46 Пример Найти точку пересечения прямой и плоскости

47 Пример Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;2;0) и В(2;1;1) перпендикулярно заданной плоскости –х+у-1=0. Тогда векторы компланарны. А В М

48 Пример Показать, что прямая лежит в плоскости Решение. Используем параметрические уравнения прямой

49 Подставим в уравнение плоскости: - Получили равенство, верное при любых Следовательно, прямая лежит в плоскости.

50 Пример Найти уравнение перпендикуляра к плоскости, проходящего через точку А(2;-1:3), и определить координаты основания этого перпендикуляра.