Использование графического метода решения задач с параметрами 1. 1. Свойства функций в задачах с параметрами. 2. 2. Координатная плоскость (x; y). 3. 3. - презентация

1 Использование графического метода решения задач с параметрами Свойства функций в задачах с параметрами Координатная плоскость (x; y) Координатная плоскость (х; а) Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек Применение производной Свойства функций в задачах с параметрами Координатная плоскость (x; y) Координатная плоскость (х; а) Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек Применение производной

2 Свойства функций в задачах с параметрами Если функции y = f (x) и y = g (x) возрастают (убывают) на некотором промежутке, то функция y = f (x) + g (x) также возрастает (убывает) на этом промежутке y = x + 2y = x + 2 y = lnx y = lnx + x + 2

3 Если функции y = f (x), y = g (x) возрастают (убывают) на некотором промежутке, причем f (x) 0, g (x) 0 при всех допустимых значениях х, то функция y = f (x) g (x) также возрастает (убывает) на этом промежутке y = lnx(x + 2) y = x + 2y = x + 2 y = lnx

4 Если функция y = f (x) монотонна на некотором промежутке, то каждое свое значение она принимает только один раз Уравнение f (x) = a имеет не более одного корня Объясните решение уравнения ln x + x + 2 = 0

5 Определите число корней уравнения Пусть, и y = y 1 + y 2. Тогда, так как y 1 и y 2 возрастают на [6; +), то и y тоже возрастает на этом интервале. Следовательно, y y (6) = 4. Уравнение имеет единственный корень при а 4. Уравнение не имеет корней при а < 4 Пусть, и y = y 1 + y 2. Тогда, так как y 1 и y 2 возрастают на [6; +), то и y тоже возрастает на этом интервале. Следовательно, y y (6) = 4. Уравнение имеет единственный корень при а 4. Уравнение не имеет корней при а < 4

6 Графическая иллюстрация Постройте график функции Построим семейство прямых y = a При а 4 одна точка пересечения Постройте график функции Построим семейство прямых y = a При а 4 одна точка пересечения

7 Определить количество корней уравнения ||2x| – 3| = x + a Построим график функции y = ||2x| – 3|. Построим семейство графиков функций y = х + а, полученных параллельным переносом графика функции y = x на а единиц по оси Oy. Критические положения a 1 = 1,5 a 2 = –1,5 a 3 = 3 Построим график функции y = ||2x| – 3|. Построим семейство графиков функций y = х + а, полученных параллельным переносом графика функции y = x на а единиц по оси Oy. Критические положения a 1 = 1,5 a 2 = –1,5 a 3 = 3 y = ||2x| – 3| а1а1 а2а2 а3а3 Запишите ответ

8 Ответ: При а < –1,5 нет решения. При а = –1,5 одно решение. При –1,5 < а < 1,5 два решения. При a = 1,5 три решения. При 1,5 < a 3 два решения При а < –1,5 нет решения. При а = –1,5 одно решение. При –1,5 < а < 1,5 два решения. При a = 1,5 три решения. При 1,5 < a 3 два решения y = ||2x| – 3| а1а1 а2а2 а3а3

9 Координатная плоскость (х; а) Построить координатную плоскость с осями Oх и Oа. Построить график уравнения f (x; a) = 0. Построить семейство прямых перпендикулярных оси Oа. Считать информацию Построить координатную плоскость с осями Oх и Oа. Построить график уравнения f (x; a) = 0. Построить семейство прямых перпендикулярных оси Oа. Считать информацию

10 Найти такие а, при которых уравнение имеет один корень Преобразуем уравнение к виду: Ответ: а > 0, a = -1/4

11 Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек

12 Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число r (то есть лежали на координатной прямой левее, чем точка r), необходимо и достаточно выполнение условий:

13 Чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число r, а другой был больше числа r, необходимо и достаточно выполнение условий

14 Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале (K; C), необходимо и достаточно выполнение условий:

15 Найти значения параметра, для которых корни уравнения лежат в интервале (–1; 2) Ответ:

16 Применение производной Решение. Построить эскиз графика Функции:. С помощью производной найти промежутки возрастания и убывания. Значения а, для которых прямые пересекают график в 3 точках будут искомыми Решение. Построить эскиз графика Функции:. С помощью производной найти промежутки возрастания и убывания. Значения а, для которых прямые пересекают график в 3 точках будут искомыми y = a (x) Ответ: a > 48 При каких значениях а уравнение x 3 – ax + 2a + 32 = 0 имеет три корня? При каких значениях а уравнение x 3 – ax + 2a + 32 = 0 имеет три корня?

17 Для каждого значения а определить число корней уравнения 2x 3 – 3x 2 + a = 0 Построим график функции f (x) = 2x 3 – 3x 2 и прямой y = –a. Исследуем f (x) = 2x 3 – 3x 2 найти производную промежутки монотонности точки максимума и минимума Вычислить значения функции в точках экстремума. Сделать вывод Построим график функции f (x) = 2x 3 – 3x 2 и прямой y = –a. Исследуем f (x) = 2x 3 – 3x 2 найти производную промежутки монотонности точки максимума и минимума Вычислить значения функции в точках экстремума. Сделать вывод

18 График функции f (x) = 2x 3 – 3x 2 f` (x) = 6x 2 – 6x x min = 1 x max = 0. f (0) = 0. f (1) = –1. При а < –1 один корень. При а = –1 два корня. При –1 < a < 1 три корня. При а = 0 два корня. При а > 0 один корень f` (x) = 6x 2 – 6x x min = 1 x max = 0. f (0) = 0. f (1) = –1. При а < –1 один корень. При а = –1 два корня. При –1 < a < 1 три корня. При а = 0 два корня. При а > 0 один корень f (x) = 2x 3 - 3x 2 f (x) = а

19 При каком значении параметра неравенство не имеет решения Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, для которых имеет смысл исходное неравенство. Это будет полуплоскость 3x – a > 0, из которой удалены части прямых x = 0, x = 1/3, x = –1/3. При a > 1 или a = 0 решений нет Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, для которых имеет смысл исходное неравенство. Это будет полуплоскость 3x – a > 0, из которой удалены части прямых x = 0, x = 1/3, x = –1/3. При a > 1 или a = 0 решений нет а

20 При каких значениях параметра a уравнение имеет более трех корней? Построим график функции Ответ: 3 a < 5.