Комитет по образованию города Майкопа Доклад на тему: «Гиперкуб» Номинация: математика Выполнила Степанова Надежда ученица 11 М класса гимназии 22 Научный. - презентация

1 Комитет по образованию города Майкопа Доклад на тему: «Гиперкуб» Номинация: математика Выполнила Степанова Надежда ученица 11 М класса гимназии 22 Научный руководитель учитель высшей категории гимназии 22 Захарьян Алла Анатольевна 2008 г. г. Майкоп

2

3 Отрезок получается из точки

4 Квадрат получается из отрезка

5 Трехмерный куб получается из квадрата

6 Гиперкуб получается из трехмерного куба

7

8 Берем отрезок... со ВСЕХ сторон поместим по отрезку и ЕЩЕ ОДИН прикрепим к любому

9 Гнем в точках на 90°, соединяются две внешние (крайние) точки. Получаем квадрат

10 Берем квадрат... со ВСЕХ сторон поместим по квадрату... и ЕЩЕ ОДИН прикрепим к любому

11 Гнем в ребрах на 90°, соединяются внешние точки Получаем куб

12 Берем куб... со ВСЕХ сторон поместим по кубу

13 и ЕЩЕ ОДИН прикрепим к любому

14 Гнем ее ВО ВСЕХ ГРАНЯХ 3D-кубов на 90° в сторону 4-ого(о-го- го) измерения, соединяются пары внешних граней. Получаем 4D-КУБ.

15

16 Проекция куба на плоскость Проекция гиперкуба на «трехмерную плоскость»

17 Составляющие элементы: 16 вершин, 32 ребра, 24 двумерных граней, 8 трехмерных граней.

18

19 Отрезок(«одномерный куб») располагается на прямой (в «одномерном пространстве») и в системе координат Ох может быть задан неравенством 0 х 1 01 х

20 Квадрат(«двумерный куб») располагается на плоскости (в «двумерном пространстве») и в системе координат Оху может быть задан системой неравенств 0 х 1, 0у х у 1

21 Куб располагается в системе координат Охуz трехмерного пространства может быть задан системой неравенств 0 х 1, 0у 1, 0z 1 z x y

22 Гиперкуб – это множество всех четверок действительных чисел (x; y; z; t), для которых выполняются следующие неравенства 0х 1, 0у 1, 0z 1, 0t 1 z y x t

23

24 Сечения куба

25 Сечения гиперкуба

26

27

28 1. Диагонали гиперкуба равны 2. Диагонали гиперкуба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 3. Объём боковой поверхности гиперкуба равен 8 4. Гиперобъём гиперкуба равен

29

30 В пустой трехмерной кубической комнате со стороной 1 ползает по стене таракан. Какова длина кратчайшего пути от одного угла комнаты к противоположному ? Таракан бегает по стенам, а не летает по воздуху.

31 Шаг 1. Путь, пройденный тараканом по кубу считать сложно. Но мы отлично умеем считать его путь по каждой грани в отдельности. "Развернем" куб, cведя все операции в трехмерном пространстве к отлично знакомым двумерным. Шаг 2. Итак, соответствие обнаружено. То, что оно не полное: некоторые точки "размножились", для нас роли не играет. Построенная модель полностью соответствует решаемой задаче. Теперь можно посчитать кратчайший путь от A до C". По т. Пифагора он равен корню из пяти.

32 Шаг 3. Возвращаемся к кубу. Переносим на него сделанное в "модели". Шаг 4. Очевидно, выбранный путь есть наикратчайший. Формализуем решение и записываем. Ответ:

33 В пустой четырехмерной кубической комнате со стороной 1 ползает по стене таракан. Какова длина кратчайшего пути от одного угла комнаты к противоположному ? Таракан бегает по стенам, а не летает по воздуху. Каков же кратчайший путь от точки ( 0, 0, 0, 0 ) до ( 1, 1, 1, 1 ) по двумерным граням ?

34 Шаг 1. Посмотрим на обычный куб 3D : Координатная система в принципе одинакова хоть 3D, хоть 4D. Поэтому соответствия, обнаруженные через координаты и общие понятия прямой и плоскости, должны будут действовать и в этой задаче. Что такое двумерная грань трехмерного куба ? Одна координата фиксирована, две же другие изменяются, как хотят. Так получается квадрат, то есть одна грань. Какие точки связаны между собой ? Очевидно, те, у которых различается ТОЛЬКО ОДНА координата. При переходе к другой точке изменится именно она.

35 Шаг 2. Построим нужную конфигурацию А теперь построим такую же «развертку»: Нарисуем ту грань, по которой будем идти первой. В силу симметрии куба не играет роли - какую. Поэтому зафиксируем в ней последние две координаты (выделены красным ). На рисунке эта грань – нижняя. Наша задача - построить минимальный путь по квадратикам, следуя условиям соответствия из шага 1: 1. связаны с друг другом только точки с равными тремя координатами, 2. на одном квадратике могут находиться только точки с фиксированными двумя координатами.

36 Шаг3. Наша задача теперь - максимально быстро изменить координаты с 0 до 1, идя по квадратикам и соблюдая условия модели. Из точки ( 1, 1, 0, 0 ) можно добраться до ( 1, 1, 1, 1 ) по двум ребрам. Их различное расположение дает нам два возможно кратчайших пути. При подсчете видим, что правый короче. Его длина и есть ответ к задаче. Ответ:

37

38

39 "Распятие" (1954) Сальвадор Дали