Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка. - презентация

1 Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

2 Дифференциальные уравнения Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид где

3 Дифференциальные уравнения Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид где Определение 2. Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если и называется неоднородным, если

4 Дифференциальные уравнения Определение 3. Линейным дифференциальным оператором n-го порядка называется выражение: ЛОДУ: ЛНДУ:

5 Дифференциальные уравнения Определение 4. Общим решением ЛДУ n-го порядка называется функция, зависящая от х и n произвольных постоянных, если любое решение может быть получено из нее при некоторых конкретных значениях постоянных. Решение, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных, называется частным решением.

6 Дифференциальные уравнения Задача Коши. Найти решение ЛДУ n-го порядка удовлетворяющее начальным условиям Теорема ( ! ). Пусть в интервале коэффициенты и правая часть ЛДУ n-го порядка – непрерывные функции. Тогда при любом найдется некоторая окрестность такая, что в этой окрестности существует единственное решение задачи Коши.

7 Дифференциальные уравнения Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определение 1. Система функций называется линейно зависимой в интервале если найдутся такие коэффициенты что среди них есть хотя бы один, отличный от нуля, а линейная комбинация функций тождественно равна нулю в интервале

8 Дифференциальные уравнения Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Частный случай. Система двух функций будет линейно зависимой в интервале тогда и только тогда, когда их отношение Доказательство. Необходимость. - линейно зависимы Достаточность.

9 Дифференциальные уравнения Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определение 2. Система функций называется линейно независимой в интервале если линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю при всех лишь в том случае, когда все коэффициенты равны нулю.

10 Дифференциальные уравнения Примеры. 1. Система функций линейно независимая в любом интервале Рассмотрим линейную комбинацию этих функций и предположим, что она тождественно равна нулю: Тогда и производные от нее должны равняться нулю: Отсюда следует:

11 Дифференциальные уравнения Примеры. 2. Система функций линейно независимая в любом интервале : В общем случае система функций линейно независимая при всех х.

12 Дифференциальные уравнения Примеры. 3. Система функций линейно зависимая в любом интервале : Положим и составим линейную комбинацию функций с этими коэффициентами

13 Дифференциальные уравнения Определитель Вронского. Пусть функции имеют в интервале непрерывные производные до порядка k-1 включительно. Определение. Определителем Вронского системы функций называется определитель

14 Дифференциальные уравнения Определитель Вронского. Теорема (необходимое условие линейной зависимости). Пусть система функций линейно зависима в. Тогда при всех Доказательство ( при к=2)