Тема урока: Объем прямоугольного параллелепипеда. - презентация

1 Тема урока: Объем прямоугольного параллелепипеда

2 Цель: Ввести понятие объема; Единицы измерения объема; Свойства объемов Объем прямоугольного параллелепипеда Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник Цель: Ввести понятие объема; Единицы измерения объема; Свойства объемов Объем прямоугольного параллелепипеда Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник

3 Фигуры в пространстве имеют объем Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела

4 – Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог. В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.

5 На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда - о том, что объемы этих тел относятся как 3: 2. Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром. АРХИМЕД (ок гг. до н.э.)

6 Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны только отдельные правила, найденные опытным путем. В более позднее время был найден общий подход к вычислению объемов многогранников. Среди замечательных греческих ученых 5-4 в до н.э., которые разрабатывали теорию объемов были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский. Евклид не применяет термин «объем». Для него термин «куб» означает термин «объем» в 9 книге «Начал» изложены среди других теоремы об объемах. Демокрит Евдокс Герон

7 За единицу измерения объема принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Кубический сантиметр – это куб с ребром 1 см. 1 см Кубический метр – это куб с ребром 1 м. 1 м

8 Английские меры объема Бушель - 36,4 дм 3 Галлон -4,5 дм 3 Баррель (сухой)- 115,628 дм 3 Баррель (нефтяной)- 158,988 дм 3 Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм 3 Бушель - 36,4 дм 3 Галлон -4,5 дм 3 Баррель (сухой)- 115,628 дм 3 Баррель (нефтяной)- 158,988 дм 3 Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм 3

9 Ведро - 12 дм 3 Бочка дм 3 Штоф - 1,23 дм 3 = 10 чарок Чарка -0,123 дм 3 =0,1 штофа= = 2 шкалика Шкалик -0,06 дм 3 = 0,5 чарки Ведро - 12 дм 3 Бочка дм 3 Штоф - 1,23 дм 3 = 10 чарок Чарка -0,123 дм 3 =0,1 штофа= = 2 шкалика Шкалик -0,06 дм 3 = 0,5 чарки

10

11 Свойства объемов 2. Равные тела имеют равные объемы Какие тела называются равными? 2. Равные тела имеют равные объемы Какие тела называются равными? 3. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел 1. Объем тела есть неотрицательное число; Если тело имеет объем V 1 и содержится в теле, имеющем объем V 2, то V 1 < V 2.

12 Два тела называют равными, если их можно совместить наложением.

13

14 Следствие: Объем куба с ребром равен Следствие: Объем куба с ребром равен

15 647 Дано: тело R состоит из те P и Q. V 1 и V 2 а) тела не имеют общих точек б) тела имеют общую часть объем которой равен 647 Дано: тело R состоит из те P и Q. V 1 и V 2 а) тела не имеют общих точек б) тела имеют общую часть объем которой равен

16 Объем прямоугольного параллелепипеда Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений ? Что такое измерения параллелепипеда ? V=abc

17 Объем прямоугольного параллелепипеда. Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений. Дано: параллелепипед, а, b, c его измерения.V - объем Доказать: V = abc. Доказательство: 1 сл. Пусть а, b, c - конечные десятичные дроби ( n 1). Числа а ·10 n, b ·10 n, c·10 n - целые. Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед разобьется На abc·10 3 n равных кубов с ребром Т.к. объем каждого такого куба равен, то объем всего параллелепипеда равен Итак, V = abc.

18 2 сл.Пусть a, b, c –бесконечные десятичные дроби. Рассмотрим конечные десятичные дроби a n, b n, c n a n b n c n abc a n b n c n, где Объем V параллелепипеда Р заключен между V n =a n b n c n и V n = a n b n c n т.е. a n b n c n V a n b n c n Неограниченно увеличим n. Тогда число a n b n c n будет мало отличаться от числа a n b n c n. V=abc. Ч.т.д

19

20 Итак, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V=abc Следствия: 1.Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V=S осн h 2.Объем прямой призмы, основанием которой равен прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту (доказать самостоятельно) Следствия: 1.Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V=S осн h 2.Объем прямой призмы, основанием которой равен прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту (доказать самостоятельно)

21 Дано: АВС - треугольная призма. Доказать: V призмы= S ABC ·h Доказательство: 1. Достроим треугольную призму до прямоугольного параллелепипеда. 2. По сл.2 V= 2 S ABC ·h. 3. (В 1 ВС) разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых данная. 4. Следовательно V иск. равен половине объема параллелепипеда, т.е. V призмы = S ABC ·h ч.т.д Дано: АВС - треугольная призма. Доказать: V призмы= S ABC ·h Доказательство: 1. Достроим треугольную призму до прямоугольного параллелепипеда. 2. По сл.2 V= 2 S ABC ·h. 3. (В 1 ВС) разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых данная. 4. Следовательно V иск. равен половине объема параллелепипеда, т.е. V призмы = S ABC ·h ч.т.д Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

22 648, 649, 650, 651,652, Дома: 648, 657 – дорешать 655 Знать: единицы измерения объемов, выражать единицы через другие, свойства объемов, формулы вычисления прямоугольного параллелепипеда, стр.150 – доказать 2 случай 648, 649, 650, 651,652, Дома: 648, 657 – дорешать 655 Знать: единицы измерения объемов, выражать единицы через другие, свойства объемов, формулы вычисления прямоугольного параллелепипеда, стр.150 – доказать 2 случай

23 648 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны a, b, высота – h, если a=11, b=12, h=15 Дано: a=11, b=12, h=15 Найти: V Дано: a=11, b=12, h=15 Найти: V V=abc=abh=11*12815=1980 домой

24 Найдите объём куба ABCDA1B1C1D1, если AC = 12см. 649 домой

25 Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25 см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна 1,8 г/см 3. Найдите его массу. домой

26 Дано: прямоугольный параллелепипед. а = 8см, b = 12см, с = 8см V пар = V куба Найти: d - ребро куба. Дано: прямоугольный параллелепипед. а = 8см, b = 12см, с = 8см V пар = V куба Найти: d - ребро куба. A B D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 C B1B1 D1D1 A1A1 C1C1 A B C D домой Решение: V пар = abc=8·12·18=1728 cм 3. V пар.=V куба = 1728 cм 3 = d 3, d 3 = 2 3 ·2 2 ·3·3 2 ·2=2 6 ·3 3, d=12 см. Ответ: 12 см. Решение: V пар = abc=8·12·18=1728 cм 3. V пар.=V куба = 1728 cм 3 = d 3, d 3 = 2 3 ·2 2 ·3·3 2 ·2=2 6 ·3 3, d=12 см. Ответ: 12 см.

27 Объем прямой призмы равен произведению основания на высоту A D B C A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Аналогично доказывается, что объем произвольной прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. Например, пятиугольную прямою призму можно разделить на три прямые треугольные призмы, выразить объем каждой из них и найти объем всей призмы. Итак, объем прямой призмы равен произведению основания на высоту

28 Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. О 180˚ К М О1О1 n Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму F n, а в эту призму впишем цилиндр P n. Пусть объемы цилиндров Р и P n равны V и V n, через r n –радиус цилиндра P n. Чему равен объем призмы F n ?

29 659 (а), 660, 663 (а,в), (а), 660, 663 (а,в), 664, 666(а), 667, 669, 671(а)666(а), , 671(а) Дома: 672, 670, 662(б), 666(б), 671(б) 659 (а), 660, 663 (а,в), (а), 660, 663 (а,в), 664, 666(а), 667, 669, 671(а)666(а), , 671(а) Дома: 672, 670, 662(б), 666(б), 671(б)

30 B C A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 659(а) домой

31 660 домой

32 663 домой

33 664 По теореме, обратной о трех перпендикулярах В А М С h A1A1 B1B1 C1C1 домой

34 666(а)

35 домой 667 Дано: алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найти длину провода, если плотность алюминия равна 2,6 грамм на куб. см

36 669 Дано: площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S Найти: V домой

37 671 В цилиндр вписана призма. Найти отношение объемов призмы и цилиндра домой

38