«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» «…нет ни одной области в математике, - презентация

1

2 «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский Н.И. Лобачевский

3 Лови ошибку! Функции на своей области определения Производные Производные

4 Устно

5 1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке. В 80,75

6 2. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. В 83 у=1

7 Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.

8 Исаак Ньютон ( ) один из создателей дифференциального исчисления. Главный его труд - « Математические начала натуральной философии ».- оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания. Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл. Интересно : Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.

9 « Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx,- ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд ». Г. В. Лейбниц. ( ) Создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференци - ального исчисления, ввёл большую часть современной символики матема - тического анализа. Лейбниц пришёл к понятию производной решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

10 Архимед Р. Декарт Г.Галилей Ж. Лагранж Л. Эйлер Коши

11 Механическое движение- это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость.

12 Механическое движение- это изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость. Пусть закон движения тела задан уравнением s = s (t).Скорость неравномерного движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.

13 1. Найти производную s' = f '(t). 2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени. Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой - нибудь определенный момент времени надо :

14 Автомобиль приближается к мосту с начальной скоростью 72 км/ч. Автомобиль приближается к мосту с начальной скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак «36 км/ч».За 7 сек до въезда на мост водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой У моста висит дорожный знак «36 км/ч».За 7 сек до въезда на мост водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч).

15

16

17 Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

18

19

20

21

22 ЗАДАНИЕ Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону Найти силу тока в момент времени t=5 c. Сила тока равна 2 А

23 А так же: если V(p) – закон изменения объема жидкости от внешнего давления p, то производная V / (p) есть мгновенная скорость изменения объема при внешнем давлении, равном p. Сила есть производная работы по перемещению, т.е. F=A / (x) Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q / (t) d(l)=m / (l) - линейная плотность K (t) = l / (t) - коэффициент линейного расширения ω (t)= φ / (t) - угловая скорость а (t)= ω / (t) - угловое ускорение N(t) = A / (t) - мощность

24 Задание Теплота Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0 0 С до температуры t 0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне 0 0 до 95 0, формула Q (t) = 0,396t+2, t 2 -5, t 3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t. Решение. C (t) = Q / (t) = 0, ,162*10 -3 t – 15,072*10 -7 t 2

25

26

27 Химия изучает закономерности протекания различных реакций. Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ.

28

29 Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.

30 Если C(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:

31 Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество в-ва в момент времени t 0 c = c(t) Функция Интервал времени t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Изменение количества в-ва c = c(t+ t ) – c(t) Приращение функции Средняя скорость химической реакции c/t Отношение приращён. функции к приращён. аргументу V (t) = c (t) производная в химии Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени

32 ЗАДАНИЕ Найти скорость реакции в момент времени t = 10сек, если концентрация исходного продукта меняется по закону

33

34 Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

35 По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t.

36 Понятие на языке биологии Обозначение Понятие на языке математики Численность в момент времени t 1 x = x(t) Функция Интервал времени t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Изменение численности популяции x = x(t 2 ) – x(t 1 ) Приращение функции Скорость изменения численности популяции x/t Отношение приращения функции к приращению аргумента Относительный прирост в данный момент Lim x/t Lim x/t t 0 t 0Производная Р = х (t)

37

38 Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t), N (t) =kN(t). Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

39

40 Пусть у = у(t)- численность населения. Рассмотрим прирост населения за t = t-t 0 y = k y t, где к = к р – к с –коэффициент прироста (к р – коэффициент рождаемости, к с – коэффициент смертности) y: t=k y При t 0 получим lim y/ t=у у= к у

41

42 П (t) = υ / (t) - производительность труда, где υ (t) - объем продукции J(x) = y / (x) - предельные издержки производства, где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

43 Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию U(t)=0,15t³ – 2t² + 200, где t – месяцы, U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10 месяцы. Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t² - 4t Меньше оборот был на девятом месяце - 0,45. На 10 месяце - 5.

44

45 Всё смог ! Уроком доволен Не совсем всё понял, хочу понять Ничего не понялИ не хочу понимать !

46