М А Т Е М А Т И К А VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. - презентация

1 М А Т Е М А Т И К А VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

2 Лекция ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ и ЧАСТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. 1. О п р е д е л е н и я. Для упрощения записи и изложения мы ограничимся здесь случаем функций двух независимых переменных; всё дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого чиста переменных. Пусть в некоторой открытой области имеем функцию ; возьмём точку в этой области, придадим значению приращение, тогда функция получит приращение которое называют её частным приращением (по ), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. Определение. Предел отношения частного приращения функции по к приращению, когда стремиться к нулю называется частной производной функции по в точке, и обозначается Как видно из определения, частная производная есть обычная производная от функции, рассматриваемой как функция только от переменной при фиксированном.

3 Функция двух переменных изображается в трёхмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат, поверхностью – геометрическим местом точек, где принадлежит области задания функции. Очевидно, что величина (если она существует) равна тангенсу наклона к оси касательной к сечению этой поверхности плоскостью в точке, имеющей абсциссу Совершенно аналогично можно определить частную производную по в точке : Из определения частной производной следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами вычисления производной функции одного переменного, и только следует каждый раз помнить, по какому переменному ищется производная. Замечание. Частные производные более, чем двух переменных, определяются аналогично. Так, для функции имеем:

4 Пример 1. Найти частные производные функции Решение. Определение. Произведение частной производной на произвольное приращение называется частным дифференциалом по функции, и его обозначают Если под дифференциалом независимой переменной понимать приращение, то формулу ( 26.3 ) можно записать в виде : Аналогично, частный дифференциал по функции.

5 Определение. Полным приращением функции называется: Теорема. Если частные производные существуют не только в точке, но и в некоторой её окрестности, и кроме того непрерывны (как функции от ) в этой точке, то имеет место формула: где б.м.в. при Доказательство. Преобразуем равенство (26.7) к виду: Выражения, стоящие в квадратных скобках можно рассматривать как разность двух значений функции одной независимой переменной (в первой скобке – переменной,т.к. остаётся неизменным; во второй – переменной, т.к. остаётся неизменным). Применяя к этим разностям теорему Лагранжа, получим: где

6 Подставляя эти выражения разностей функций в формулу (26.7), получим Так как, по условию, частные производные непрерывны, то (т.к., то при ). Равенства (26.11) по теореме о связи предела и б.м.в. можно записать в виде: где - б.м.в. при, т.е. когда. В силу равенств (26.12) соотношение (26.10) принимает вид (26.8), ч.т.д Замечание. Аналогично можно доказать теорему о приращении функции любого числа независимых переменных. Для функции одной независимой переменной, в предположении существования в точке конечной производной, для приращения функции, как известно, имеет место формула:

7 3. Дифференцирование сложной функции нескольких независимых переменных Рассмотрим случай, когда, а переменные в свою очередь зависят от двух переменных: Тогда функция есть сложная функция переменных. Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Дадим аргументу приращение, сохраняя неизменным, тогда функции получат приращения следовательно, получит приращение функция, которое определяется формулой (26.8): Отсюда

8 Если, то ( в силу непрерывности функций ) тогда и. Переходя к пределу при получим: и, следовательно, Если бы приращение получило переменное, при неизменном то с помощью аналогичных рассуждений получили: Формулы (26.13),(26.14) легко обобщаются для случая произвольного числа независимых переменных. Примечание. Если задана функция, где в свою очередь зависят от одного аргумента то по сути дела, является функцией только одного переменного и можно ставить вопрос о нахождении производной

9 По формуле ( ) имеем : и так как - функции только одного переменного, то частные производные обращаются в обыкновенные ; кроме того, поэтому Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной ( в отличие от частной производной ). 4. Производная функции, заданной неявно. Определение. Функция задана неявно, если значение находится по заданным значениям аргументов из уравнения, неразрешённого относительно : Теорема. Пусть непрерывная функция от задаётся неявно уравнением, и - непрерывные функции в некоторой области, содержащей точку, координаты которой удовлетворяют уравнению ( ); кроме того, в этой точке. Тогда функция от имеет производную

10 Доказательство. Дадим независимому переменному приращение Функция получит приращение, т.е. значению аргумента соответствует значение функции. В силу уравнения будем иметь: Тогда Левую часть последнего равенства, являющуюся полным приращением функции двух переменных по формулу (23.8) можно записать в виде: где - б.м. в. при Так как левая часть этого выражения равна нулю, то можно записать: Отсюда Устремляя к нулю и учитывая, что при это, и в пределе получим: ч.т.д.

11 Рассмотрим теперь уравнение вида: Определение. Если каждой паре чисел из некоторой области соответствует одно или несколько значений, удовлетворяющих уравнению (26.18), то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций от. Например, уравнение неявно определяет две непрерывные функции от, которые можно выразить явно, разрешив уравнение относительно : Найдём частные производные неявной функции от, определяемой уравнением (26.18). Когда мы ищем мы считаем постоянным, и по формуле (26.17) получим: Таким же путём находим: Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

12 Пример 2. Найти частные производные функции Решение. Отсюда по формулам (26.7) получим: Пример 3. Найти частные производные функции, неявно заданной уравнением Решение. Здесь

13 Лекция ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ и ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ. 1. Определение, свойства и вычисление дифференциала Сумма двух последних слагаемых правой части в формуле полного приращения функции (23.8) является бесконечно малой высшего порядка относительно. Действительно, отношение при т.к. - б.м.в., а,т.е. - ограниченная величина. Аналогично проверяется, что при. Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно. При это выражение представляет собой главную часть приращения, отличаясь от на бесконечно малую высшего порядка относительно. Определение. Функция, полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения линейного относительно, и величины бесконечно малой высшего порядка относительно называется дифференцируемой в данной точке, а линейную часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается через

14 Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные. Доказательство следует из формулы (26.8). Таким образом, для функции двух и более независимых переменных из дифференцируемости её следует существование частных производных этой функции; обратное утверждение неверно: из существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Замечание. Для функции одной переменной существование у неё производной в точке является необходимым и достаточным условием её дифференцируемости в этой точке. Из формулы (26.8) также следует утверждение. Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. (Доказательство следует из (26.8) и критерия Коши). Из формулы (26.8) и определения полного дифференциала следует формула вычисления полного дифференциала:

15 Равенство (26.8) можно переписать в виде: и с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно можно написать следующее приближённое равенство: Примечание 1. Приращения независимых переменных называют дифференциалами независимых переменных. Тогда выражение полного дифференциала примет вид: Примечание 2. Предыдущие рассуждения и определения соответственным образом обобщаются на функции любого числа аргументов. Если имеем функцию любого числа переменных, причём все частные производные непрерывны в точке то выражение: является её полным дифференциалом. Доказательство того, что разность является бесконечно малой более высокого порядка, чем проводится совершенно также, как и для функции двух переменных.

16 Примечание 3. Для функции нескольких переменных, как и для функции одной переменной, имеет место инвариантность формы первого дифференциала. Доказательство. Если функция имеет непрерывные частные производные, причём в свою очередь, являются функциями от новых переменных : также имеющими непрерывные частные производные тогда не только существуют производные от сложной функции по и, но эти производные также непрерывны по и. Если бы были независимыми переменными, то, как мы знаем, полный дифференциал функции был бы равен: В данном случае зависит через посредство от переменных. Следовательно, по отношению к этим переменным, дифференциал запишется в виде: a в силу формулы вычисления производной сложной функции: получим:

17 Перегруппируем члены этого выражения Нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках, есть дифференциалы функций от, так что мы можем записать: Таким образом, мы пришли к той же самой форме полного дифференциала, что и в случае, когда были независимыми переменными. (Но смысл символов здесь, конечно, другой). Следствие. Для случая, когда были функциями одного переменного, имели место следующие формулы: Эти формулы верны и в том случае, когда являются функциями любого числа переменных, т.е. когда Докажем, например, последнюю формулу. Для этого примем сначала за независимые переменные, тогда Видим, что при этом предположении дифференциал имеет тот же вид, что и для функций одной переменной.

18 На основании инвариантности формы дифференциала можно утверждать, что эта формула справедлива и в том случае, когда являются функциями любого числа переменных. Доказанное свойство полного дифференциала и следствие из него позволяют упрощать вычисление полного дифференциала. Пример 1. Так как коэффициентами при дифференциалах независимых переменных являются соответствующие частные производные, то отсюда сразу же получаются и значения этих производных. Например, для имеем непосредственно а для получим

19 2. Применение полного дифференциала в приближённых вычислениях. Пусть функция дифференцируема в точке, тогда из формулы и из формулы (27.3) приближённую формулу верную с точностью до б.м.в. высшего порядка относительно Пример 2. Вычислить объём материала, нужного для изготовления цилиндрического стакана следующих размеров: радиус внутреннего цилиндра-, высота внутреннего цилиндра-, толщина стенок и дна стакана-. Решение. Дадим два решения этой задачи: точное и приближённое. а) Точное решение. Искомый объём равен разности объёмов внешнего и внутреннего цилиндров. Так как радиус внешнего цилиндра равен а высота, то

20 б) Приближённое решение. Обозначим через объём внутреннего цилиндра, тогда. Это функция двух переменных. Если увеличим и на, то функция получит приращение, что и будет искомым объёмом, т.е.. Тогда на основании (27.6) имеем приближённое равенство: А так как то получаем Сравнивая результаты точного и приближённого решений, видим, что они отличаются на величину, состоящую из членов второго и третьего порядка малости относительно. В частности, если, то по точной формуле имеем: по приближённой формуле имеем: Следовательно, приближённая формула даёт ответ с ошибкой меньшей, чем, что составляет, т.е. менее измеренной величины.

21 3. Приложения дифференциала к оценке погрешности при вычислениях. Пусть некоторая величина является функцией величин :, причём, определяя каким-то способом значения величин, мы допускаем погрешности:. Тогда значение, Вычисленное по неточным значениям аргументов, получится с погрешностью: При достаточно малых абсолютных значениях величин можем приближённо заменить полное приращение полным дифференциалом: Здесь значения частных производных и значения погрешностей аргументов могут быть как положительными, так и отрицательными. Заменяя их абсолютными величинами, получим неравенство: Если через обозначим максимальные абсолютные погрешности соответствующих величин (границы для абсолютных величин погрешностей), то можно, очевидно принять:

22 Пример 3. а) Если, то b) Если, то с) Если, то d) Если, то Определение. Отношение погрешности некоторой величины к приближённому значению этой величины называется относительной погрешностью величины и обозначается Определение. Максимальной относительной погрешностью величины называется отношение максимальной абсолютной погрешности к абсолютной величине и обозначается Для оценки максимальной относительной погрешности функции разделим все числа равенства (27.9) на И так как то

23 Из формул (27.10),(27.11) следует, что максимальная относительная погрешность функции равняется максимальной абсолютной погрешности логарифма этой функции. Из формулы (27.11) следуют правила, применяемые в приближённых вычислениях: 1) если, то, пользуясь результатами примера 3(с), получим: т.е. максимальная относительная погрешность произведения равняется сумме максимальных относительных погрешностей сомножителей; 2) если, то, пользуясь результатами примера 3(d), находим: 3) если, то, пользуясь результатами примера 3(в), получим: Если и близки, то может оказаться, что будет очень велика по сравнению с определяемой величиной. Это обстоятельство следует учитывать при производстве вычислений.

24 Пример 4. Период колебания маятника равен, где - длина маятника, - ускорение силы тяжести. Какую относительную погрешность в определении мы допустим по этой формуле, принимая (с точностью до 0,005), =1м ( с точностью до 0,01м), (с точностью до 0,02). Решение. По формуле (27.11) максимальная относительная погрешность равна причём в данном случае Учитывая, что получим: Таким образом, максимальная относительная погрешность равна:

25 Лекция ПРОИЗВОДНЫЕ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. 1. Производные высших порядков. Пусть имеем функцию двух независимых переменных. Частные производные вообще говоря, являются функциями переменных, поэтому от них можно снова находить частные производные. Определение. Производная от по называется частной производной второго порядка от функции по переменному и обозначается Аналогично определяется частная производная второго порядка от функции по переменному :

26 Определение. Производная от по называется частной производной второго порядка от функции по переменным и обозначается Аналогично определяется производная Определение. Частные производные, определяемые формулами (28.3),(28.4) называются смешанными производными второго порядка функции по переменным. Аналогично определяются производные третьего, четвёртого порядков от функции по переменным. Определение. Частной производной -го порядка от функции по переменным называется производная от производной -го порядка. Естественно возникает вопрос: будут ли равны между собой частные производные, если они взяты по одним и тем же переменным, одно и тоже число раз, но в разном порядке? В общем случае ответ отрицательный, однако в некоторых случаях это возможно.

27 Теорема 1. (О смешанных производных). Если функция и её частные производные определены и непрерывны в точке и в некоторой её окрестности, то в этой точке имеет место равенство: Доказательство. Рассмотрим выражение: Если введём вспомогательную функцию,то можно записать в виде: Так как, по предположению, определена в окрестности точки, то, следовательно, дифференцируема на отрезке, но тогда, применяя теорему Лагранжа, получим:, где и Так как определена в окрестности точки, то дифференцируема на отрезке, поэтому, применив к полученной разности вновь теорему Лагранжа ( по переменному ), будем иметь: где Следовательно, первоначальное выражение

28 Переставив в выражении для средние слагаемые, получим: Введём вспомогательную функцию тогда Применяя теорему Лагранжа, получим: где и Применив ещё раз теорему Лагранжа, получим: где Следовательно, первоначальное выражение можно записать в виде: Левые части равенств (25.5),(25.6) равны, следовательно, равны и правые части, т.е. Откуда Переходя в этом равенстве к пределу при, получим: Так как непрерывны в точке, то Таким образом, ч.т.д. Аналогичная теорема имеет место для функции любого числа переменных.

29 Пример 1. Найти если. Решение. Следовательно, 2. Поверхности уровня. Пусть в пространстве имеется область, в которой задана функция Рассмотрим точки области, в которых функция имеет постоянное значение : Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. (Если возьмём другое значение, то получим другую поверхность). Эти поверхности называются поверхностями уровня. Если функция есть функция двух переменных,т.е., то поверхностями уровня будут линии на плоскости, которые называются линиями уровня. Зная линии уровня, можно исследовать характер исходной поверхности.

30 Пример 2. Определить линии уровня функции Решение. Линиями уровня будут линии, уравнения которых Это окружности с радиусом (в частности, при получаем окружность 3. Дифференциалы высших порядков. Определение. Дифференциал от дифференциала первого порядка функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается : Следует подчеркнуть, что приращения, при этом рассматриваются как постоянные и остаются одними и те ми же при переходе от одного дифференциала к другому. Таким образом, если воспользоваться правилами дифференцирования, то получим: Аналогично определяется дифференциал третьего порядка и выше.

31 Определение. Дифференциал от дифференциала -го порядка называется дифференциалом -го порядка: Если функция имеет непрерывные частные производные всех порядков до -го порядка включительно, то существование для неё -го дифференциала обеспечено. В целях упрощения записи для дифференциалов применяют символическую запись: Примечание. Пусть имеем сложную функцию В этом случае первый дифференциал в силу инвариантности его формы может быть сохранён в прежнем виде: но здесь уже, являются дифференциалами функций, следовательно, сами будут функциями. Вычислив теперь второй дифференциал сложной функции, будем иметь: Отсюда следует, что дифференциал второго порядка (и выше) в общем случае инвариантностью формы не обладает. (Исключением является, когда являются линейными функциями )

32 4. Формула Тейлора. Предположим, что в окрестности некоторой точки функция имеет непрерывные производные всех порядков до -го включительно. Придадим некоторые приращения так, чтобы прямолинейный отрезок, соединяющий точки и не вышел за пределы рассматриваемой окрестности точки. Введём в рассмотрение новую независимую переменную, положив Подставив эти значения в функцию, получим сложную функцию от одной переменной : Введённые формулы (25.7) геометрически выражают прямолинейный отрезок, соединяющий точки и. Тогда Но является функцией одной переменной и имеет непрерывных производных, следовательно, применив к ней уже выведенную формулу Тейлора, получим: при этом дифференциал, входящий в различных степенях справа равен

33 Пользуясь теперь тем, что при линейной замене переменных свойство инвариантности формы имеет место и для высших дифференциалов, можем написать, что Наконец, для -го дифференциала будем иметь Следует отметить, что здесь дифференциалы ничем не отличаются от ранее взятых приращений. Действительно, Подставив эти формулы в разложение, получим разложение функции по формуле Тейлора.

34 Лекция ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НАИБОЛЬШЕЕ и НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ. 1. Экстремум функции нескольких переменных. Определение. Функция имеет максимум в точке (т.е. при ), если для всех точек, достаточно близких к точке и отличных от неё выполняется неравенство: Определение. Функция имеет минимум в точке (т.е. при ), если для всех точек, достаточно близких к точке и отличных от неё выполняется неравенство: Определение. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции. Пример 1. Пример 2.

35 Положив, и тогда данные выше определения можно перефразировать следующим образом: 1) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает максимума в точке 2) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает минимума в точке Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных. Теорема (Необходимое условие экстремума). Если функция достигает экстремума в точке, то каждая частная производная первого порядка от данной функции или обращается в нуль в этой точке, или не существует. Доказательство. Дадим переменному определённое значение. тогда функция будет функцией одного переменного. Так как при она имеет экстремум, то или равно нулю, или не существует. Аналогично можно доказать, что или равно нулю или не существует.

36 Определение. Точки, в которых (или не существуют) называются критическими точками функции. Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то это может случиться только в критической точке. Теорема (Достаточное условие экстремума). Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки, в которой б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка: Тогда, если, то в точке функция имеет экстремум; причём, если то максимум, если то минимум. Если, то экстремума нет, если то вопрос об экстремуме остаётся открытым. (Без доказательства). 2. Условный экстремум. Пусть требуется найти экстремум функции при условии, что и связаны уравнением

37 Если бы нам удалось разрешить уравнение (29.2) относительно, то, вставляя в равенство вместо найденное выражение, получили бы функцию одного переменного и свели бы задачу к задаче об исследовании на максимум и минимум функции одного независимого переменного. Но можно решить поставленную задачу, не разрешая уравнения (29.2) относительно или. При тех значениях, при которых функция может иметь максимум или минимум, производная от по должна обращаться в нуль. Из (29.1), помня, что есть функция, находим следовательно, в точках экстремума Из равенства (29.2) находим Равенство (29.4) удовлетворяется для всех и, удовлетворяющих уравнению (29.2).

38 Умножив члены равенства (29.4) на неопределённый пока коэффициент и сложив их с соответствующими членами равенства (29.3), получим: или Равенство (29.5) выполняется во всех точках экстремума. Подберём так, чтобы для значений и, соответствующих экстремуму функции, вторая скобка в равенстве (29.5) обратилась в нуль Но тогда при этих значениях и из равенства (29.5) следует равенство Таким образом, получается, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения: с тремя неизвестными. Из этих уравнений определяем и которое играло вспомогательную роль.

39 Левые части уравнений (29.6) есть частные производные функции Таким образом, для того, чтобы найти значения и, удовлетворяющие условию (29.2), при которых функция может иметь условный экстремум, нужно составить вспомогательную функцию (29.7), приравнять нулю её частные производные по и и из полученных трёх уравнений (29.6) определить искомые. Кстати условия (29.6) есть необходимые условия условного экстремума; при решении конкретных задач иногда удаётся установить характер критической точки (решение (29.6)) на основании существа задачи. Рассмотренный метод распространяется на исследование экстремума функции любого числа переменных. 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Наибольшее и наименьшее значения (глобальный экстремум) функции нескольких переменных непрерывной на некотором замкнутом множестве достигается или в точках экстремума, или на границе множества.

40 Определение. Множество называется замкнутым, если оно включает все свои граничные (предельные) точки, т.е. точки, окрестности которых содержат точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащих ему. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области можно руководствоваться правилом: 1) найти критические точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках (при этом можно не вдаваться в исследование, есть в них экстремум или нет); 2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области ; 3) из полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области Решение. 1) Найдём критические точки, лежащие внутри данной области

41 критическая точка, лежащая внутри данной области, и 2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на границе области: а) на прямой : б) на параболе 3) Сравнивая значения функции, полученные в пунктах 1) и 2), найдём, что наибольшее значение функция достигает на границе области в точке (3;5), а наименьшее значение - на границе области в точке (3;5)

42 Лекция ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА. 1. Определение вектор-функции. Пусть в трёхмерном пространстве введена прямоугольная декартова система координат и пусть - вектор, начало которого совпадает с началом координат, а концом является некоторая точка. Такой вектор называется радиус-вектором точки. Из векторной алгебры известно, что Пусть проекции вектора являются функциями некоторого параметра Тогда формулу (27.1) можно записать в виде: или коротко Определение. Если каждой точке поставлен в соответствие вектор, то говорят, что на отрезке задана вектор- функция (или векторная функция) скалярного аргумента. Из (30.3) следует, что задание вектор-функции равносильно заданию трёх числовых функций При изменении изменяются и точка (конец вектора ) опишет в пространстве некоторую линию, которую называют годографом вектора.

43 2. Предел и непрерывность вектор-функции. Определение. Вектор называется пределом вектор-функции при, если, и пишут: Как видим, в определении предполагается, что определена в некоторой окрестности Определение предела вектор-функции как и для числовой функции можно записать на языке : Если и, то Из этого равенства следует, что существование предела равносильно существованию трёх пределов числовых функций:

44 Теорема 1. Пусть существуют пределы где числовая функция, тогда существуют пределы: Доказательство. Эти свойства следуют из свойств числовых функций, если перейти к соответствующим равенствам для компонент векторов. Определение. Вектор называется пределом функции справа в точке если и пишут: Аналогично определяется предел слева: Определение. Вектор-функция, определённая в называется непрерывной в точке, если Из определения следует, что непрерывность вектор-функции равносильна непрерывности трёх числовых функций – её компонент.

45 Теорема 2. Пусть вектор-функции и числовая функция непрерывны в точке, тогда непрерывны в точкe. Доказательство следует из определения непрерывности и свойств пределов. 3. Производная вектор-функции. Определение. Вектор-функция, определённая в окрестности называется дифференцируемой в точке, если при где при Рассмотрим отношение приращения векторной функции к приращению скалярного аргумента. Это, очевидно, есть вектор коллинеарный вектору, при этом Если функции имеют производные, то существуют пределы, стоящие множителями при. Отсюда, существует предел

46 Определение. Вектор, определяемый равенством (27.4) называется производной от вектора по скалярному аргументу и пишут: Так как при точка приближается к точке, то направление секущей в пределе даёт направление касательной. Следовательно, вектор производной направлен по касательной к кривой в точке. Как и в случае числовой функции показывается, что существование производной и дифференцируемость в точке - эквивалентные свойства и что. Дифференцируемость в точке влечёт непрерывность в точке (Показывается это также как для числовой функции). Аналогично, как для числовой функции, определяется дифференциал векторной функции и вычисляется по формуле:

47 Теорема 3. Пусть в точке существуют производные функций и числовой функции, тогда в точке существуют: 1) 2) 3) 4) Пусть есть сложная векторная функция переменного. Дифференцированием получаем Из этой формулы получаем выражение для дифференциала сложной вектор-функции: Как видим, дифференциал записывается в том же виде, как и в случае, когда - независимая переменная, т.е. дифференциал первого порядка векторной функции обладает свойством инвариантности. Производные и дифференциалы высших порядков вектор-функции определяются аналогично тому, как и для числовой функции:

48 Лекция КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ и НОРМАЛЬ к ПОВЕРХНОСТИ. 1. Касательная плоскость. Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида Определение. Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке, если она является касательной к какой – либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку Так как через точку проходит бесконечное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку будет, вообще говоря, бесконечное множество. Определение. Если в точке все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка называется особой точкой поверхности. Определение. Если в точке все три производные существуют и непрерывны, причём хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка называется обыкновенной точкой поверхности.

49 Теорема 1. Все касательные к данной поверхности (31.1) в её обыкновенной точке лежат в одной плоскости. Доказательство. Рассмотрим на поверхности некоторую линию, проходящую через данную точку поверхности. Пусть рассматриваемая кривая задан параметрическими уравнениями: Касательная к кривой будет касательной к поверхности. Уравнения этих касательных имеют вид: Если выражения (31.2) подставить в уравнение (31.1), то это уравнение превратиться в тождество относительно, так как кривая (31.2) лежит на поверхности (31.1). Дифференцируя его по, получим (в силу непрерывности всех частных производных от функции : Рассмотрим далее векторы, проходящие через точку.

50 Проекции вектора зависят от - координат точки (заметим, что точка - обыкновенная), то эти проекции в точке одновременно не обращаются в нуль и потому Вектор -касательный к кривой, проходящей через точку и лежащей на поверхности. Проекции этого вектора, вычисляются на основании уравнений (31.2) при значении параметра, соответствующим точке. Вычислим скалярное произведение векторов, которое равно сумме произведений одноимённых координат: На основании равенства (31.4) выражение, стоящее в правой части, равно нулю, следовательно, Из последнего равенства следует, что вектор и касательный вектор к кривой (31.2) в точке взаимно перпендикулярны. Проведённое рассуждение справедливо для любой кривой, проходящей через точку и лежащей на поверхности.

51 Следовательно, каждая касательная к поверхности в точке перпендикулярна к одному и тому же вектору и потому все эти касательные лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору ч.т.д. Определение. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку, называется касательной плоскостью к поверхности в точке. Замечание 1. В особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные прямые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой. Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они образуют коническую поверхность). Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна к вектору (нормальный вектор плоскости), то её уравнение имеет вид:

52 Если уравнение поверхности задано в форме: или то и уравнение касательной плоскости в этом случае примет вид: Замечание 2. Если в формуле (31.8) положить, то эта формула примет вид: Правая часть этой формулы представляет собой полный дифференциал функции, следовательно, Таким образом, полный дифференциал функции двух независимых переменных в точке, соответствующий приращениям независимых переменных, равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости к поверхности, которая является графиком данной функции.

53 2. Нормаль к поверхности. Определение. Прямая, проведённая через точку поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности Так как направление нормали совпадает с направлением вектора то уравнение нормали имеет вид: Если уравнение поверхности задано в форме, то уравнение нормали имеет вид: Замечание. Если поверхность (31.1) есть поверхность уровня для некоторой функции, т.е. то вектор направленный по нормали к поверхности уровня будет иметь координаты: Пример. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности шара в точке Уравнение касательной плоскости: Уравнение нормали: или

54 Лекция ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ. РАДИУС КРИВИЗНЫ. 1. Длина дуги кривой. Пусть в прямоугольной системе координат на плоскости задана кривая уравнением. Возьмём на дуге кривой точки и проведём хорды, длины которых обозначим соответственно тогда получим ломаную, вписанную в дугу. Длина ломаной равна: Определение. Длиной дуги кривой называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю: Обозначим: тогда по теореме Пифагора По теореме Лагранжа имеем: Следовательно,

55 Предполагая, что непрерывна, имеем, что функция тоже непрерывна, поэтому существует предел интегральной суммы (32.2), который равен определённому интегралу: Таким образом, если на отрезке ( -абсциссы соответственно точек функция и её производная непрерывны, то предел (32.1) существует, и длина дуги кривой вычисляется по формуле: Замечание 1. Если верхний предел интегрирования будем считать переменным и обозначим через (переменную интегрирования менять не будем), длина дуги будет функцией : Дифференцируем этот интеграл по верхнему пределу получили соответственно производную и дифференциал дуги кривой. Пример 1. Найти длину окружности Решение. Уравнение дуги окружности, лежащей в первом квадранте: Следовательно,

56 Следствие 1. Если уравнение кривой задано в параметрической форме: где - непрерывные функции с непрерывными производными, причём на заданном промежутке не обращается в нуль. В этом случае (32.5) определяют некоторую функцию, непрерывную и имеющую непрерывную производную Пусть, тогда, сделав в интеграле (32.3) подстановку: получим: или Замечание 2. Можно показать, что формула (32.6) остаётся в силе и для кривых, которые пересекаются вертикальными прямыми более чем в одной точке (в, частности, для замкнутых кривых), лишь бы во всех точках кривой были непрерывны обе производные. Замечание 3. Если задана пространственная кривая уравнениями: причём функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке, то длина кривой вычисляется по формуле

57 Пример 2. Найти длину дуги винтовой линии Решение. По формуле (32.8) находим: Следствие 2. Если кривая задана в полярной системе координат уравнением, где - полярный радиус, - полярный угол. Подставив выражение в формулы перехода от полярных координат к декартовым, получим уравнения которые можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, и для вычисления длины дуги применим формулу (32.6): Следовательно, Пример 3. Найти длину кардиоиды Решение. При изменении полярного угла получим половину искомой длины. Следовательно,

58 2. Радиус кривизны. Одной из характеристик формы кривой является степень её искривлённости, изогнутости. Пусть имеем кривую, которая не пересекает саму себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух точках и обозначим через угол, образованный этими касательными, или точнее – угол поворота касательной при переходе от точки к точке. Этот угол называется углом смежности дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у которой угол смежности больше. С другой стороны, у дуг различной длины нельзя оценить степень их искривлённости только углом смежности. Отсюда следует, что полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги. Определение. Средней кривизной дуги называется отношение соответствующего угла смежности к длине дуги :

59 Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей(дуг) может быть различной. Для того, чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке вводится кривизна кривой в данной точке. Определение. Кривизной кривой в данной точке называется предел средней кривизны дуги, когда длина этой дуги стремится к нулю (т.е. точка приближается к точке ): Так как величины обе зависят от (являются функциями от ), то можно рассматривать как функцию от. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра, тогда Воспользуемся формулой производной параметрически заданной функции: Выразим производную через функцию, воспользовавшись тем, что и, следовательно,

60 Дифференцируя по последнее равенство и подставляя его вместе с (32.4) в формулу (32.12), получим: Таким образом, - кривизна кривой, заданной в декартовой прямоугольной системе координат уравнением, в любой её точке, где существует непрерывная вторая производная. Следствие. Если кривая задана параметрически: то можно показать, что кривизна вычисляется по формуле: Если кривая задана уравнением в полярной системе координат, то можно показать, что Определение. Величина, обратная кривизне линии в данной точке называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: