Прямая и окружность а) не иметь общих точек; б) иметь только одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной к окружности. Общая точка называется. - презентация

1 Прямая и окружность а) не иметь общих точек; б) иметь только одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной к окружности. Общая точка называется точкой касания; в) иметь две общие точки. В этом случае говорят, что прямая пересекает окружность. Прямая и окружность могут:

2 Теорема 1 Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то эти прямая и окружность не имеют общих точек. Доказательство. Пусть расстояние от центра О окружности до прямой а больше радиуса R окружности. Опустим из центра О перпендикуляр ОА на эту прямую. Тогда ОА > R. Для любой другой точки B на прямой а наклонная ОB будет больше перпендикуляра ОА и, следовательно, больше R. Таким образом, расстояние от любой точки прямой а до центра О больше R. Значит, прямая а и окружность не имеют общих точек.

3 Теорема 2 Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к окружности. Доказательство. Пусть расстояние от центра О окружности до прямой а равно радиусу R окружности. Опустим из центра О перпендикуляр ОА на эту прямую. Тогда ОА = R. Для любой другой точки B на прямой а наклонная ОB будет больше перпендикуляра ОА и, следовательно, больше R. Таким образом, расстояние от любой точки прямой а, отличной от А, до центра О больше R. Значит, прямая а и окружность имеют одну общую точку А, т.е. прямая касается окружности.

4 Теорема 3 Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность пересекаются. Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии.

5 Теорема 4 Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Доказательство. Рассмотрим две касательные к окружности с центром в точке О, проведенные из точки А и касающиеся окружности в точках В и С. Треугольники АОВ и АОС прямоугольные, ОВ=ОС и сторона АО общая. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе), они равны. Следовательно, АВ=АС.

6 Вопрос 1 Какая прямая называется касательной к окружности? Ответ: Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

7 Вопрос 2 Какая прямая называется пересекающей окружность? Ответ: Прямая пересекает окружность, если она имеет с окружностью две общие точки.

8 Вопрос 3 В каком случае прямая и окружность не имеют общих точек? Ответ: Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности.

9 Вопрос 4 В каком случае прямая касается окружности? Ответ: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

10 Вопрос 5 Какой угол образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания? Ответ: 90 о.

11 Вопрос 6 В каком случае прямая и окружность пересекаются? Ответ: Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности.

12 Вопрос 7 Что можно сказать об отрезках касательных к окружности, проведенных из одной точки? Ответ: Они равны.

13 Упражнение 1 Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку на окружности? Ответ: Одну.

14 Упражнение 2 Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку, расположенную: а) внутри окружности; б) вне окружности? Ответ: а) Ни одной; б) две.

15 Упражнение 3 Сколько можно провести окружностей, касающихся данной прямой? Ответ: Бесконечно много.

16 Упражнение 4 Сколько можно провести окружностей, касающихся данной прямой в данной точке? Ответ: Бесконечно много.

17 Упражнение 5 Сколько можно провести окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой в данной точке? Ответ: Две.

18 Упражнение 6 Может ли прямая иметь с окружностью три общие точки? Ответ: Нет.

19 Упражнение 7 Каково взаимное расположение прямой и окружности, если радиус окружности равен 3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно: а) 4 см; б) 3 см; в) 2 см? Ответ: а) Не имеют общих точек; б) касаются; в) пересекаются.

20 Упражнение 8 Расстояние d от центра окружности до прямой меньше радиуса R этой окружности. Найдите наибольшее расстояние от точек данной окружности до прямой. Ответ: R + d.

21 Упражнение 9 Определите вид треугольника, изображенного на рисунке, если MA – отрезок касательной, проведенной к данной окружности. Ответ: Прямоугольный.

22 Упражнение 10 На рисунке MA, MB, MC - касательные. Верно ли, что MA = MB? Ответ: Да.

23 Упражнение 11 На рисунке MA, MB, MC - касательные. В каком отношении делит точка M отрезок AB? Ответ: 1:1.

24 Упражнение 12 На рисунке SH и SQ - отрезки касательных, сумма которых равна 36 см. Найдите периметр треугольника STU, где TU – касательная к данной окружности. Ответ: 36 см.

25 Упражнение 13 Сколько можно провести прямых, касающихся двух данных окружностей, изображенных на рисунке? Ответ. 4.

26 Упражнение 14 Докажите, что отрезки АВ и CD общих внутренних касательных к двум окружностям, равны. Решение: OA = OC, OB = OD, как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Следовательно, AB = CD.

27 Упражнение 15 Докажите, что отрезки АВ и CD общих пересекающихся внешних касательных к двум окружностям, равны. Решение: MA = MC, MB = MD, как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Следовательно, AB = CD.

28 Упражнение 16 Найдите длину отрезка AB касательной. Стороны клеток равны 1. Ответ: 3.

29 Упражнение 17 Найдите длину отрезка AB касательной. Стороны клеток равны 1. Ответ: 3.

30 Упражнение 18 На клетчатой бумаге через точку A проведите касательную к данной окружности. Ответ:

31 Упражнение 19 На клетчатой бумаге из точки A проведите касательные к данной окружности. Ответ:

32 Упражнение 20 На клетчатой бумаге из точки A проведите касательные к данной окружности. Ответ: