Доказательство. Докажем, что медианы AA 1 и CC 1 в точке пересечения M делятся в отношении 2:1. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. - презентация

1 Доказательство. Докажем, что медианы AA 1 и CC 1 в точке пересечения M делятся в отношении 2:1. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин. Пусть D – середина отрезка BA 1. Тогда C 1 D – средняя линия треугольника ABA 1. Следовательно, прямые AA 1 и C 1 D параллельны. Так как CA 1 :A 1 D = 2:1, то по теореме о пропорциональных отрезках получим: CM:MC 1 = 2:1. Аналогично доказывается, что медианы BB 1 и CC 1 в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Значит, все медианы пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин. Медианы треугольника

2 Докажите, что если для сторон треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM. Упражнение 1 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD и BMC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC. Так как против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол, то угол ACD меньше угла ADC. Значит, угол ACM меньше угла BCM.

3 Докажите, что медиана CM треугольника ABC меньше полусуммы сторон AC и BC. Упражнение 2 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD и BMC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC. В силу неравенства треугольника, сторона CD меньше суммы сторон AC и AD. Значит, медиана CM треугольника ABC меньше полусуммы сторон AC и BC.

4 Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите медиану этого треугольника, проведенную из вершины прямого угла. Упражнение 3 Ответ. 2,5.

5 Доказательство следует из того, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Упражнение 4

6 Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что для медианы m c, проведенной из вершины C, имеет место формула Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Складывая эти равенства, получим равенство из которого непосредственно следует искомая формула. Упражнение 5

7 Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Доказательство. Отрезок CO является медианой треугольника BCD. Из предыдущей задачи следует равенство Что и требовалось доказать. Упражнение 6

8 Стороны треугольника равны 11, 12 и 13. Найдите медиану, проведенную к большей стороне. Упражнение 7 Ответ. 9,5.

9 В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 4. Найдите основание этого треугольника, если медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3. Упражнение 8 Ответ.

10 Докажите, что медиана треугольника делит его площадь пополам, а три медианы треугольника делят его на шесть треугольников одинаковой площади. Упражнение 9

11 Площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC. Упражнение 10 Решение. На продолжении отрезка MC 1 отложим равный ему отрезок C 1 D. Стороны треугольника ADM равны две трети медиан, а его площадь равна одной третьей. Следовательно, площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC, равна три четвертых. Ответ. 0,75.

12 Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Биссектрисы треугольника Доказательство. Пусть CD – биссектриса треугольника ABC. Докажем, что AD : DB = AC : BC. Проведем прямую BE, параллельную CD. В треугольнике BEC угол B равен углу E. Следовательно, BC = EC. По теореме о пропорциональных отрезках, AD : DB = AC : CE = AC : BC.

13 В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, угол A равен 30 о. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM этого треугольника. Ответ. 15 о. Упражнение 1

14 Угол C треугольника ABC равен 60 о. Найдите угол между биссектрисами AA 1 и BB 1 этого треугольника. Ответ. 120 о. Упражнение 2

15 Пусть в треугольнике ABC AC = b, BC = a. Докажите, что для биссектрисы l c, проведенной из вершины C, имеет место формула где c, c – отрезки на которые биссектриса делит сторону AB Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Умножим первое равенство на c, второе на c и сложим полученные равенства. Делая тождественные преобразования, получим равенство. Упражнение 3

16 В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5. Найдите биссектрису CD. Упражнение 4 Ответ:

17 В треугольнике ABC AC = BC = 20, AB = 5, Найдите биссектрису AD. Упражнение 5 Ответ: 6.

18 В треугольнике ABC AC = 12, BC = 15, AB = 18, Найдите биссектрису СD. Упражнение 6 Ответ: 10.

19 В треугольнике ABC AC = BC, AD – биссектриса, AB = CD = 1. Найдите AC. Упражнение 7 Ответ:

20 Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его площадь на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Доказательство. У треугольников AC 1 C и BC 1 C высота, проведенная из вершины C, общая, а стороны AC 1 и BC 1 относятся как стороны AC и BC. Следовательно, площади треугольников AC 1 C и BC 1 C относятся как стороны AC и BC. Упражнение 8

21 В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5, CD – биссектриса. Найдите площадь треугольника ACD. Упражнение 9 Ответ:

22 Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что биссектриса CС 1 делится точкой пересечения биссектрис в отношении (a+b):c, считая от вершины. Упражнение 10 Доказательство. Проведем прямую C 1 C, параллельную AA 1. Тогда A 1 C: CB = AC 1 : C 1 B = b : a. Пусть A 1 C = bx, CB = ax. Так как CA 1 : A 1 B = b : c, то CA 1 : A 1 C = b(a+b)x/c. Следовательно, CO : OC 1 = (a + b)/c.

23 Высоты треугольника Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. (Средним геометрическим двух положительных чисел a и b называется положительное число c, квадрат которого равен ab, т.е. c = ). Доказательство. Треугольники ADC и CDB подобны. Следовательно,, или CD 2 = AD BD, т.е. CD является средним геометрическим AD и BD.

24 Упражнение 1 В треугольнике ABC AB = 5, BC = 4, AC = 3. Найдите высоту CH. Ответ. 2,4.

25 Упражнение 2 В треугольнике ABC AB = 6, AC = BC = 5. Найдите высоту AH. Ответ. 4,8.

26 Упражнение 3 В треугольнике ABC AB = 6, AC = 5, BC = 4. Найдите высоту CH. Ответ.

27 Упражнение 4 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что треугольники A 1 AC и B 1 BC подобны. Доказательство. Треугольники A 1 AC и B 1 BC прямоугольные и имеют общий угол C. Следовательно, они подобны по двум углам.

28 Упражнение 5 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что углы A 1 AC и B 1 BC равны. Доказательство. Окружность с диаметром AB пройдет через точки A 1 и B 1. Вписанные углы A 1 AC и B 1 BC опираются на одну дугу AB 1. Следовательно, они равны. Для доказательства равенства углов можно было бы воспользоваться тем, что стороны данных углов перпендикулярны.

29 Упражнение 6 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что углы AA 1 B 1 и ABB 1 равны. Доказательство. Окружность с диаметром AB пройдет через точки A 1 и B 1. Вписанные углы AA 1 B 1 и ABB 1 опираются на одну дугу AB 1. Следовательно, они равны.

30 Упражнение 7 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что углы BAC и B 1 A 1 C равны. Доказательство. Угол BAC равен 90 о минус угол ABB 1. Угол B 1 A 1 C равен 90 о минус угол AA 1 B 1. Так как углы AA 1 B 1 и ABB 1 равны (см. предыдущую задачу), то равны и углы BAC и B 1 A 1 C.

31 Упражнение 8 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику A 1 B 1 C. Доказательство. Углы BAC и B 1 A 1 C равны (см. предыдущую задачу). Угол C треугольников ABC и A 1 B 1 C общий. Следовательно, данные треугольники подобны по двум углам.

32 Упражнение 9 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1, BB 1 и CC 1. Докажите, что угол A 1 C 1 C равен углу B 1 C 1 C, т.е. биссектриса треугольника A 1 B 1 C 1 лежит на высоте треугольника ABC. Доказательство. Имеют место равенства:

33 Упражнение 10 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA 1, BB 1 и CC 1. Его углы равны Найдите углы треугольника A 1 B 1 C 1. Ответ.

34 Упражнение 11 Теорема. Для радиуса r окружности, вписанной в треугольник, имеет место формула где h a, h b, h c – высоты треугольника. Доказательство. Пусть стороны треугольника ABC равны a, b, c. Для площади S треугольника имеют место равенства: Из которых следует требуемая формула.

35 Упражнение 12 Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника. Доказательство. Для точки C, симметричной точке H пересечения высот треугольника ABC, имеем Следовательно, точка C принадлежит описанной окружности. Аналогично, описанной окружности принадлежат остальные две симметричные точки.

36 Окружность 1 Теорема 1. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный с ним угол. Доказательство. Рассмотрим угол АСВ с вершиной С внутри круга и точками А и В на окружности. Пусть А 1, В 1 – точки пересечения с окружностью сторон вертикального к нему угла. Проведем хорду BB 1. Угол АСВ является внешним углом треугольника B 1 СВ. Следовательно, ACB = AB 1 B + B 1 BA 1. Углы, стоящие в правой части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что и завершает доказательство.

37 Окружность 2 Теорема 2. Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Доказательство. Пусть угол ACB образован касательной AC и хордой BC окружности. Если этот угол – прямой, то BC – диаметр окружности и, следовательно, угол ACB измеряется половиной дуги полуокружности, заключенной внутри этого угла. Если угол ACB – острый, то проведем диаметр CD. Имеем ACB = ACD – BCD. Угол ACD измеряется половиной дуги CBD окружности. Угол BCD измеряется половиной дуги BD окружности. Следовательно, их разность (угол ACB) измеряется половиной дуги CB окружности, заключенной внутри этого угла. Самостоятельно рассмотрите случай тупого угла.

38 Окружность 3 Теорема 3. Угол с вершиной вне круга, стороны которого пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла. Доказательство. Рассмотрим угол ACB с вершиной C вне окружности и точками A и B на окружности. Пусть А 1, В 1 – точки пересечения с окружностью сторон AC и BC. Проведем хорду AB 1. Угол АВ 1 B является внешним углом треугольника AB 1 С. Следовательно, ACB = AB 1 B – B 1 AA 1. Углы, стоящие в правой части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что и завершает доказательство.

39 Окружность 4 Теорема 4. Произведение отрезков любой хорды, проведенной через внутреннюю точку круга, равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же точку. Доказательство. Пусть дан круг с центром в точке O, хорда AB и диаметр CD пересекаются в точке E. Докажем, что Треугольники ACE и DBE подобны. Следовательно, значит,

40 Окружность 5 Теорема. Произведение отрезков AE и BE секущей, проведенной к окружности из внешней точки E, равно квадрату отрезка CE касательной. Доказательство. Треугольники EAC и ECB подобны. Следовательно, AE:CE = CE:BE, значит, AE·BE = CE 2.

41 Упражнение 1 Вписанные углы ACB и CAD равны соответственно 36 о и 20 о. Найдите угол AQB, образованный пересекающимися хордами AC и BD. Ответ: 56 о.

42 Упражнение 2 Угол AQB, образованный пересекающимися хордами AC и BD окружности, равен 54 о. Вписанный угол ACB равен 34 о. Найдите вписанный угол CAD. Ответ: 20 о.

43 Упражнение 3 Дуги AB и CD окружности составляют соответственно 72 о и 38 о. Найдите угол AQB, образованный пересекающимися хордами AC и BD. Ответ: 55 о.

44 Упражнение 4 Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 118 о и 38 о. Ответ: 40 о.

45 Упражнение 5 Угол ACB равен 42 о. Градусная величина дуги AB окружности равна 124 о. Найдите угол DAE. Ответ: 40 о.

46 Упражнение 6 Угол ACB равен 42 о. Градусная величина дуги DE окружности равна 38 о. Найдите угол ADB. Ответ: 61 о.

47 Упражнение 7 Найдите угол ACB, если вписанный угол ADB равен 62 о, а угол AQB равен 80 о. Ответ: 44 о.

48 Упражнение 8 Хорда AB стягивает дугу окружности в 92 о. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ: 46 о.

49 Упражнение 9 Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32 о. Найдите градусную величину дуги, стягиваемую хордой AB. Ответ: 64 о.

50 Упражнение 10 Через концы A, B дуги окружности в 62 о проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ: 118 о.

51 Упражнение 11 Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122 о. Найдите градусную величину дуги AB, стягиваемую точками касания. Ответ: 58 о.

52 Упражнение 12 Хорда АВ стягивает дугу окружности в 44 о. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательными к окружности, проведенными через ее концы. Ответ: 22 о.

53 Упражнение 13 Найдите угол ACB, если его стороны CA и CB касаются окружности, а дуга ADB окружности, заключенная внутри этого угла, равна 132 о. Ответ: 48 о.

54 Упражнение 14 Угол ACB равен 52 о. Его стороны CA и CB касаются окружности. Найдите градусную величину дуги ADB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ: 128 о.

55 Упражнение 15 Найдите угол ACB, если его стороны CA и CB касаются окружности, а дуга ADB окружности, заключенная внутри этого угла, равна 232 о. Ответ: 52 о.

56 Упражнение 16 Угол ACB равен 48 о. Его стороны CA и CB касаются окружности. Найдите градусную величину дуги ADB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ: 228 о.

57 Упражнение 17 В угол АВС вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 5:4. Найдите величину угла АВС. Ответ: 20 о.

58 Упражнение 18 Окружность разделена точками А, В, С на дуги, градусные величины которых относятся как 11 : 3 : 4. Через точки А, В, С проведены касательные до их взаимного пересечения. Найдите углы образовавшегося треугольника. Ответ: 80 о, 60 о, 40 о.

59 Упражнение 19 Найдите величину угла ACB. Ответ: 45 о.

60 Упражнение 20 Найдите величину угла ACB. Ответ: 45 о.

61 Упражнение 21 Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом, т. е. таких точек С, для которых угол АСВ равен данному углу. Ответ: Дуги двух окружностей одинакового радиуса, опирающихся на отрезок AB, без точек A и B.

62 Упражнение 22 Найдите геометрическое место вершин C прямоугольных треугольников АВС с данной гипотенузой АB. Ответ: Окружность с диаметром AB, за исключением точек A и B.

63 Упражнение 23 Ответ: а) ГМТ, лежащих вне окружности с диаметром AB и не принадлежащих прямой AB; Для данных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для которых угол АСВ: а) острый; б) тупой. б) ГМТ, лежащих внутри окружности с диаметром AB и не принадлежащих отрезку AB.

64 Упражнение 24 На прямой c отметьте точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом. Ответ:

65 Упражнение 25 На прямой c отметьте точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом. Ответ:

66 Упражнение 26 Пусть AC и BD – хорды окружности, пересекающиеся в точке E. Докажите, что треугольники ABE и CDE подобны. Доказательство: Угол A треугольника ABE равен углу D треугольника CDE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Аналогично, угол B равен углу C. Следовательно, треугольники ABE и CDE подобны по первому признаку.

67 Упражнение 27 На рисунке AE = 3, BE = 6, CE = 2. Найдите DE. Ответ: 4.

68 Упражнение 28 На рисунке AB = 8, BE = 6, DE = 4. Найдите CD. Ответ:.

69 Упражнение 29 На рисунке CE = 2, DE = 5, AE = 4. Найдите BE. Ответ: 10.

70 Упражнение 30 На рисунке CE = 4, CD = 10, AE = 6. Найдите AB. Ответ: 15.

71 Упражнение 31 Ответ: DEK и DLF, DEK и ELK, DLF и ELK, DFK и DLE, DFK и FLK, DLE и FLK. На рисунке DL – биссектриса треугольника DEF, вписанного в окружность. DL пересекает окружность в точке K, которая соединена отрезками с вершинами E и F треугольника. Найдите подобные треугольники.

72 Упражнение 32 Ответ: ABH и ADC, ACH и ADB, ABM и CDM, BMD и AMC. В окружность вписан остроугольный треугольник ABC, AH – его высота, AD – диаметр окружности, который пересекает сторону BC в точке M. Точка D соединена с вершинами B и C треугольника. Найдите подобные треугольники.

73 Упражнение 33 Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите, что треугольники ADE и BCE подобны. Доказательство: Угол D треугольника ADE равен углу C треугольника BCE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Угол E этих треугольников общий. Следовательно, треугольники ADE и BCE подобны по первому признаку.

74 Упражнение 34 Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите, что AE·CE = BE·DE. Доказательство: Треугольники ADE и BCE подобны. Значит, AE : DE = BE : CE. Следовательно, AE·CE = BE·DE.

75 Упражнение 35 На рисунке AE = 9, BE = 8, CE = 24. Найдите DE. Ответ: 27.

76 Упражнение 36 Через внешнюю точку E окружности проведены прямая, пересекающая окружность в точках A и B, и касательная EС (C – точка касания). Докажите, что треугольники EAC и ECB подобны. Доказательство. У треугольников EAC и ECB угол E общий. Углы ACE и CBE равны, как углы, опирающиеся на одну хорду. Следовательно, треугольники EAC и ECB подобны.

77 Упражнение 37 На рисунке AE = 6, BE = 24. Найдите CE. Ответ: 12.

78 Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причем r < R и r + R < a. Найдите AB. Ответ. или. Решение. Пусть O 1 – центр окружности радиуса R, O 2 – центр окружности радиуса r. Возможны два случая: AB – внешняя касательная, AB – внутренняя касательная. В первом случае (рис. 1) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB, и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A. Тогда AB = Во втором случае (рис. 2) через точку O 2 проведем прямую, параллельную AB, и обозначим P ее точку пересечения с прямой O 1 A. Тогда AB = Упражнение 38

79 Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены по одну сторону от центра O, основания AB и CD расположены по разные стороны от центра O. В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ трапеции равна OQ – OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 9. Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ трапеции равна OQ + OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 39. Ответ. 9 или 39. Упражнение 39

80 Окружности с центрами O 1 и O 2 пересекаются в точках A и B. Известно, что угол AO 1 B равен 90 о, угол AO 2 B равен 60 о, O 1 O 2 = a. Найдите радиусы окружностей. Решение. Возможны два случая: точки O 1, O 2 расположены по разные стороны от прямой AB, точки O 1, O 2 расположены по одну сторону от прямой AB. Обозначим r радиус окружности с центром O 1. Тогда радиус окружности с центром O 2 будет равен. Обозначим P точку пересечения прямых O 1 O 2 и AB. Тогда O 1 P =, O 2 P =. В первом случае (рис. 1) и, следовательно, Во втором случае (рис. 2) и, следовательно, Ответ. или Упражнение 40

81 Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол AOC равен 60 о. В треугольник ABC вписана окружность с центром M. Найдите угол AMC. В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C треугольника ABC равна 150 о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 75 о и, следовательно, угол AMC равен 105 о. Ответ. 105 о или 165 о. Решение. Возможны два случая расположения вершины B треугольника ABC. Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C треугольника ABC равна 30 о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 15 о и, следовательно, угол AMC равен 165 о. Упражнение 41

82 Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC. Решение. По теореме синусов Откуда Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC. Опустим перпендикуляр BH на прямую AC. Тогда BH = ABsinA = 1. По теореме Пифагора AH = CH = В первом случае (рис. 1) AC = Во втором случае (рис. 2) AC = Ответ. или Упражнение 42

83 Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB. В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA 1, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C равен 45 о. Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135 о. Ответ. 45 о или 135 о. Решение. Пусть AA 1, BB 1 – высоты треугольника ABC. Опишем окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через точки A 1 и B 1. Возможны два случая расположения точки H. Упражнение 43

84 В треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1, O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B 1 C 1 = 12. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника BOC. Решение. Возможны два случая расположения отрезка B 1 C 1. На BC, как на диаметре, опишем окружность с центром P. Треугольник B 1 C 1 P равносторонний. Следовательно, сумма углов BPB 1 и CPC 1 равна 120 о. В первом случае (рис. 1) треугольники BPC 1 и CPB 1 равнобедренные. Следовательно, сумма углов B и C равна 120 о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120 о. По теореме синусов находим R =. Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60 о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150 о. По теореме синусов находим R = 24. Ответ. или 24. Упражнение 44