Исторические сведения В конце 17 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S(t) и такая. - презентация

1 Исторические сведения В конце 17 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией, и техническими науками. Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

2 Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

3 Теоретический материал по теме «ПРОИЗВОДНАЯ»

4 Как найти производную? 1. Необходимо знать таблицу производных основных элементарных функций. 2. Уметь видеть, как составная функция строится из основных элементарных функций. 3. Знать формулы производной составных функций – то есть производных суммы, произведения сложной функции и частного сложной функции (производной суперпозиции). произведения частного

5 В11 Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= = 289 х= - 4, х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 В решениях заданий, встречаемых в сборниках по подготовке к ЕГЭ по математике применяются формулы и правила нахождения производной, геометрический и механический смысл производной, понятие критической точки, признаки возрастания и убывания функции методы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, точек максимума и минимума.

6 Таблица производных

7 Теорема. Константу можно вынести за знак производной, то есть назад

8 Теорема. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем: назад

9 Теорема. Производная произведения двух функций равна назад

10 Теорема. Производная частного двух функций равна назад

11 Реклама. Выполнение тестов - надежный путь в сдаче ЕГЭ

12 Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. Проверка y = f(x) y x Подумай ! Верно! 5 a b

13 Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] На рисунке изображен график ее производной у = f / (x). В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. Проверка y = f / (x) y x Подумай ! Верно! 6 a b

14 y = f / (x) х Не верно! f(x) f / (x) Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку, в которой функция у = f(x) принимает наибольшее значение. + a Верно! Проверка (2) х max = 1 В этой точке функция у =f(x) примет наибольшее значение – 3

15 На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания Не верно! Верно! Не верно! Проверка (2) f(x) f / (x) 4 + – y = f / (x) y x + 1

16 y = f / (x) Не верно! f(x) f / (x) Функция у = f(x) определена на промежутке на промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции. + – Верно! Проверка (2) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII y x -6 2

17 х1х В какой из указанных точек производная функции, график которой изображен на рисунке, отрицательна? х2х2 х3х3 х4х4 Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < o. Проверка (4) х3х3 х у х4х4 х2 х2 В этой точке производная равна нулю! В этой точке производная равна нулю! ПОДУМАЙ ! х1х1 Геометрический смысл производной k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k > o ВЕРНО!

18 На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х Подумай! х0х0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох равен 0 (касательная параллельна оси Ох, значит tg0 0 = –1 не существует Верно!

19 На рисунке изображен график функции у =f(x). Укажите в какой точке значение производной отрицатально В этой точке производная не существует Верно! Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k > o. х 1 х 2 х 3 х 4 Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < 0. 1 В этой точке производная равна нулю! х1х1 х2х2 х3х3 х4х4

20 х На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-5;5]. Укажите точку, в которой производная равна Не верно! Не верно Верно! Не верно!

21 На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х Подумай! Верно! Подумай ! х0х0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k >o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 4 : 4 =1 –5 –1 5 1

22 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 6 : 3 =2. Значит, k= -2 На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х Подумай! Верно! Подумай ! х0х0 0,5 –0,5 –2 2

23 х На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-4;5]. Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции Подумай! Верно! Подумай ! Нуль функции – значение х, при котором значение у = 0. На рисунке зто – точки пересечения с осью Ох. (1; 4] (-3; 5) (-3;4] [-3;4]

24 На рисунке изображен график функции y = f (x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 2. Найдите значение производной этой функции в точке x = 2.

25 Задачи для самостоятельного решения В14. Найдите точку минимума функции. В14. Найдите точку максимума функции. В14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. В14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке.