Квадратные уравнения. Эпиграф урока: « Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, - презентация

1 Квадратные уравнения. Эпиграф урока: « Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умение»

2 Повторить умения решать квадратные уравнения; Повторить умения решать квадратные уравнения; Применять их при решении задач; Применять их при решении задач; Развивать логическое мышление; Развивать логическое мышление; Воспитать активность желания работать; Воспитать активность желания работать; Содействовать побуждению интереса к решению квадратных уравнений. Содействовать побуждению интереса к решению квадратных уравнений. Развивать творческую сторону мышления; Развивать творческую сторону мышления; Развивать прикладную сторону мышления. Развивать прикладную сторону мышления.

3 Содержание Определение квадратного уравнения Определение квадратного уравнения Определение квадратного уравнения Определение квадратного уравнения Примеры квадратных уравнений. Примеры квадратных уравнений. Примеры квадратных уравнений. Примеры квадратных уравнений. Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле Нахождение корней приведенного квадратного уравнения Нахождение корней приведенного квадратного уравнения Нахождение корней приведенного квадратного уравнения Нахождение корней приведенного квадратного уравнения Теорема Виета Теорема Виета Теорема Виета Теорема Виета Вопросы Вопросы Вопросы Из истории решения квадратных уравнений. Из истории решения квадратных уравнений. Из истории решения квадратных уравнений. Из истории решения квадратных уравнений. Задания для учащихся Задания для учащихся Задания для учащихся Задания для учащихся

4 Определение квадратного уравнения. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bx+c=0, где х – переменная, a,b,c – некоторые числа, причем a0. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bx+c=0, где х – переменная, a,b,c – некоторые числа, причем a0. Числа а, b, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член. Если в квадратном уравнении ах²+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Если в квадратном уравнении ах²+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Квадратное уравнение, в котором коэффициент а=1 называется приведенным квадратным уравнением. Квадратное уравнение, в котором коэффициент а=1 называется приведенным квадратным уравнением.

5 Примеры квадратных уравнений: – х²+6х+2=0, где а=-1, b=6, с=2; – х²+6х+2=0, где а=-1, b=6, с=2; 5х²-2=0 – неполное квадратное 5х²-2=0 – неполное квадратное уравнение, где а=5, b=0, с=-2; уравнение, где а=5, b=0, с=-2; - 3х²+7х=0 - неполное квадратное - 3х²+7х=0 - неполное квадратное уравнение, где а=-3, b=7, с=0; уравнение, где а=-3, b=7, с=0; 5х²=0 - неполное квадратное 5х²=0 - неполное квадратное уравнение, где а=5, b=0, с=0; уравнение, где а=5, b=0, с=0; х²+4х-12=0 – приведенное квадратное х²+4х-12=0 – приведенное квадратное уравнение, где а=1, b=4, с=-12. уравнение, где а=1, b=4, с=-12.

6 Алгоритм решения квадратного уравнения: ах²+вх+с=0 Определить коэффициенты а,в,с Если D0, то 1 корень Уравнение не имеет корней

7 Решить квадратное уравнение. 3х²+11х+6=0

8 РЕШЕНИЕ а = 3; в = 11; с = 6. D = 11² · 6 = 121 – 72 = 49 > 0 – уравнение имеет 2 корня: – уравнение имеет 2 корня:

9 9х²-6х+1=0 9х²-6х+1=0 Решить квадратное уравнение.

10 РЕШЕНИЕ а =9; в = - 6; с=1. D = (-6)² - 4 · 9 ·1 = 36 – 36 = 0 – уравнение имеет 1 корень.

11 х²+px+q=0. х²+px+q=0. Здесь полезно воспользоваться формулой: Здесь полезно воспользоваться формулой: Формула запоминается надолго, если выучить ее в Формула запоминается надолго, если выучить ее в стихотворной форме: стихотворной форме:стихотворной форме:стихотворной форме: Нахождение корней приведенного квадратного уравнения

12 Стихотворение для запоминания формулы «Пэ», со знаком взяв обратным, На два мы его разделим. И от корня аккуратно Знаком минус-плюс отделим. А под корнем, очень кстати, Половина «пэ» в квадрате, Минус «ку». И вот решенье Небольшого уравненья.

13 Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Иначе говоря, если x 1 и x 2 - корни уравнения, то x 1 + x 2 = -p и x 1 x 2 = q

14 Из теоремы Виета следует, что если x 1,x 2 - корни квадратного уравнения то x 1 + x 2 =- и x 1 x 2 = то x 1 + x 2 =- и x 1 x 2 =

15 Вопросы 1. В каком случае уравнение называется квадратным? 1. В каком случае уравнение называется квадратным? Какой вид примет это уравнение, если b=0, с=0; b=0, c0; b0,c=0? Какой вид примет это уравнение, если b=0, с=0; b=0, c0; b0,c=0? Как называют такие уравнения? Как называют такие уравнения? От чего зависит наличие действительных корней уравнений? От чего зависит наличие действительных корней уравнений? Сколько корней могут иметь квадратные уравнения? Сколько корней могут иметь квадратные уравнения? Какие формулы для нахождения корней вы знаете? Какие формулы для нахождения корней вы знаете? Записать краткую формулировку теоремы Виета Записать краткую формулировку теоремы Виета

16 Из истории решения квадратных уравнений. Уравнения 2-ой степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Евклид

17 Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.).Брахмагупте Среднеазиатский ученый аль-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь -мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации. Среднеазиатский ученый аль-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь -мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации.аль-Хорезми Из истории решения квадратных уравнений.

18 Брахмагупт (около г.г.) Индийский математик и астроном. Основное сочинение «Усовершенствованное учение Брахмы» («Брахмаспхутасиддханта», 628 г.), значительная часть которого посвящена арифметике и алгебре. Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:, а> 0. (1) форме:, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

19 Диофант Александрийский (около 3 в.). Древнегреческий математик. В основном труде «Арифметика» (сохранились 6 книг из 13), дал решение задач, приводящихся к т.н. диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру, нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии.

20 Евклид Евклид (3 в. до н.э.) - древнегреческий математик, работал в Александрии. Лавный труд «Начала» - (15 книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

21 Аль-Хорезми. Наибольших успехов в математике достиг согдиец Мухаммед ибн Муса аль- Хорезми (то есть, родом из Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи). Он работал в первой половине 9 века и был любимцем ученейшего из халифов - Маамуна (сына знаменитого Гаруна ар-Рашида). Главная книга Хорезми названа скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит "Ильм аль-джебр ва"ль-мукабала"; отсюда произошло наше слово "алгебра". Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое правило решения задач определенного типа - произошло от прозвания "аль-Хорезми". Третий известный термин, введенный в математику знаменитым учёным - это «синус». В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Для аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

22 В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении задач. Такие задачи составлял знаменитый индийский математик xii века. Его имя мы узнаем следующим образом: В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении задач. Такие задачи составлял знаменитый индийский математик xii века. Его имя мы узнаем следующим образом:

23

24 БАСХАРК

25 БХАСКАР

26 Кроссворд 1. Уравнение вида ах²+вх+с=о 2. Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен «Дискриминант» - по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов.

27 Ответы к кроссворду: 1. Квадратное. 2. Приведенное. 3. Равносильное. 4. Коэффициент. 5. Корень. 6. Уравнение. 7. Арифметический. 8. Диофант. 9. Неполное. 10. Различитель. 11. Свободный. 12. Виет. В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ

28 Решить квадратные уравнения из сборника заданий к экзамену: Решить квадратные уравнения из сборника заданий к экзамену: 71(1) 71(1)74(2) 234 (1)

29 Контрольные вопросы и задания. Решите уравнение 3х 2 - 4х - 4 = 0. Решите уравнение 3х 2 - 4х - 4 = 0. На сколько сумма корней уравнения 2х х - 6 = 0 больше произведения его корней? На сколько сумма корней уравнения 2х х - 6 = 0 больше произведения его корней? При каком условии равен нулю один из корней уравнения ах 2 + bх + с = 0? При каком условии корни уравнения противоположные числа? При каком условии равен нулю один из корней уравнения ах 2 + bх + с = 0? При каком условии корни уравнения противоположные числа? Решите уравнение х 2 +х - 12= 0 и 6х 2 + х - 2 = 0. Решите уравнение х 2 +х - 12= 0 и 6х 2 + х - 2 = 0.

30 Домашнее задание 71(2) 71(2) 74(1) 74(1) 234 (2) 234 (2)

31