Приложение производной к исследованию функции. План I. Исследование функции на монотонность: 1. Определение монотонности 2. Необходимый и достаточный. - презентация

1 Приложение производной к исследованию функции

2 План I. Исследование функции на монотонность: 1. Определение монотонности 2. Необходимый и достаточный признаки возрастания, убывания функции 3. Экстремумы функции 4. Алгоритм исследования функции на экстремумы и промежутки монотонности II. Исследования функции на выпуклость, вогнутость: 1. Определение выпуклости функции вверх и вниз 2. Достаточное условие выпуклости функции на интервале 3. Точка перегиба 4. Достаточный признак существования точки перегиба III. Асимптоты

3 1. Монотонность 1. Монотонность монотонной Переменную величину называют монотонной, если она изменяется только в одном направлении, т.е. либо только возрастает, либо только убывает. Очевидно, что движение точки х в сторону положительного направления оси абсцисс является монотонно возрастающим, а в противоположную сторону - монотонно убывающим

4 Приведем теперь строгое определение монотонности: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на интервале (a, b), если для любых х 1 и x 2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x 2 > х 1 сле­дует неравенство f(x 2 ) > f(x 1 ). Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (а, b), если для любых х 1 и x 2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x 2 > x 1 следует неравенство f(x 2 )< f(x 1 ). Естественно, что интервал (a,b) предполагается взятым из области определения функции.

5

6 2. Необходимый и достаточный признаки возрастания, убывания функции Th: Th: Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на некотором интервале, то ее производная неотрицательная (неположительная) на этом интервале. Th: Th: Если производная функции на некотором интервале положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

7 3. DEF: 3. DEF: Говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х=х 0 строгий максимум (минимум), если f(x) f(x 0 )) для всех х, достаточно близких к х 0 ; х 0 – точка максимума (минимума). Максимум и минимум функции называется экстремумами функции, а точка х 0 – точка экстремума По определению максимума и минимума функции имеют локальный характер: зная функцию сравниваются только в точках, достаточно близких к точкам экстремума. Отдельные минимумы м.б. больше максимумов функции.

8 Необходимое и достаточное условия существования экстремума Th: Если функция y=f(x) имеет экстремум в некоторой точке, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Th: Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х 0, и дифференцируемая во всех точках этого интервала, кроме б.м., самой точки х 0. Если при переходе аргумента слева направо через точку х 0 производная f `(x 0 ) меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум; если знак меняется с минуса на плюс, то функция имеет минимум.

9 4. Алгоритм исследования функции на экстремумы и промежутки монотонности 1.Находим производную f (x) 2.Находим точки, в которых f (x)=0 или f(x) не существует 3.Разбиваем этими точками область определения f(x) на промежутки 4.Методом проб определяем знак f (x) в этих промежутках и находим интервалы монотонности 5.Применяем достаточное условие экстремума.

10 1. Выпуклость вверх и вниз Говорят, что функция y = f(x) выпукла вверх в точке x 0, если существует окрестность точки x 0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке M 0 (x 0 ; y 0 ) лежит выше графика. Говорят, что функция y = f(x) выпукла вниз в точке x 0, если существует окрестность точки х 0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке M 0 (x 0 ; y 0 ) лежит ниже графика. II. Исследование функции на выпуклость, вогнутость

11

12 Если вторая производная f (x) существуют на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то: 1) при f (x) > 0 (знак +) функция f(x) выпукла вниз на интервале (a, b); 2) при f (x) < 0 (знак -) функция f(x) выпукла вверх на интервале (a, b). 2. Достаточное условие выпуклости функции на интервале.

13 Определение: Определение: Точка М 0 (х 0 ; f(x 0 )) графика функции y = f(x) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки x 0, в пределах которой график функции y = f(x) слева и справа от M 0 имеет разные направления выпуклости. 3.

14 4. Достаточный признак существования точки перегиба Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называется критическими точками 2-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Если для функции y=f(x) вторая производная ее f(x) в некоторой точке x 0 обращается в нуль и при переходе через точку меняет свой знак на обратный, то точка М(х 0 ; f(x 0 )) является точкой перегиба функции.

15 III. Асимптоты Определение 1: Определение 1: Если расстояние от точки М кривой y = f(x) до некоторой определенной прямой при x x 0 и неограниченном удалении точки М от начала координат стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

16 Определение: Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Если в определении асимптоты x 0 – конечное число, то соответствующую асимптоту называют вертикальной. Определение: Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов или равен + или -.

17 График с вертикальной асимптотой

18 Если в определении асимптоты x 0 есть + или -, то соответствующая асимптота является либо горизонтальной, либо наклонной. Говорят, что прямая y = b служит горизонтальной асимптотой для графика функции y = f(x), если Если же равен числу b только один из этих пределов, то прямая y = b является горизонтальной асимптотой соответствующей части графика функции y = f (x), т.е. при x = + или при x = -.

19 График с горизонтальной асимптотой

20 Определение: Прямая Y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x + (соответственно при х - ), если f(x) представима в виде f(x) = kx + b + (x), где (соответственно ) Замечание: Если k = 0, то наклонная асимптота превращается в горизонтальную.

21 График с наклонной асимптотой

22 Пример: Вертикальная асимптота: х=-1 Наклонная асимптота на - : у=-х+2 Наклонная асимптота на + : у=х-2

23 Схема исследования функции. 1. Область определения D(y), область значения E(y) функции. 2. Четность, нечетность функции. 3. Периодичность. 4. Точки пересечения с осями координат. 5. Монотонность. Экстремумы функции. 6. Точки перегиба. Выпуклость функции. 7. Асимптоты. 8. График.