Шноль Д.Э., Сгибнев А.И., Нетрусова Н.М. Открытые задачи в обучении математике. От «найдите ответ» к «задайте вопрос». - презентация

1 Шноль Д.Э., Сгибнев А.И., Нетрусова Н.М. Открытые задачи в обучении математике. От «найдите ответ» к «задайте вопрос».

2 «Классическая задача» в учебнике геометрии: Два основных вопроса: Найдите … (величину или алгоритм построения) Докажите… (данное утверждение, о котором уже известно, что оно верное)

3 Основные презумпции «классической задачи»: 1) Данных достаточно, чтобы задачу решить. 2) В условии нет лишних данных. 3) У ученика достаточно «теоретических» знаний (фактов и методов), чтобы задачу решить.

4 Какие еще вопросы естественно задавать: 1) Верно ли данное утверждение? Если верно, то докажите его. Если не верно, то приведите опровергающий пример. 2) Что можно, а что нельзя найти по данным задачи? 3) Нельзя ли ослабить условие? Нельзя ли усилить утверждение?

5 4) Нельзя ли уточнить (исправить) неверное утверждение? 5) Как можно продолжить последовательность утверждений (задач)? Или так: частным случаем какого более общего утверждения является данное утверждение. 6) Верно ли утверждение в граничном случае? Если да, то работает ли доказательство для граничного случая или нужно искать другое доказательство? и т.д.

6 Задача типа: «что можно найти». На отрезке АВ взята точка С. M и N - середины отрезков АС и ВС. MN=6 см. Что можно найти из этих данных? А что нельзя?

7 Задача типа: «что можно найти». На отрезке АВ длиной 10 взяты точки С и D (см. рисунок). M и N - середины отрезков АС и DВ. MN=6 см. Что можно найти из этих данных? А что нельзя?

8 Задача типа: «что можно найти»? В трапеции АВСD известны основания ВС=а, АD=b и длина высоты h. Диагонали пересекаются в точке К. Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных? 1) Среднюю линию. 2) Площадь трапеции. 3) Сторону АВ. 4) Диагональ АС. 5) Площадь треугольника АКD.

9 Задача типа: «что можно найти»? Про квадратичную функцию f(x)=ax 2 +bx+c известно, что f(0)= f(4)=3. Что можно сказать о ее: 1)коэффициентах, 2)вершине параболы (графика этой функции), 3)направлении ветвей параболы, 4)наличии нулей?

10 Задача типа: «найдите и докажите» Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. На боковых сторонах АВ и ВС взяты точки М и К так, что ВМ=ВК. Построены отрезки АК и СМ, которые пересекаются в точке О. Найдите все равные элементы получившейся конструкции и докажите их равенство.

11 Задача типа: «найдите и докажите» 1)Найдите и докажите признак ромба, выделяющий его из семейства параллелограммов. 2) Найдите и докажите признак ромба, выделяющий его из семейства четырехугольников.

12 Задача типа: «верно ли, что…» Точка M лежит внутри треугольника ABC. 1)Сравните углы AMC и ABC. 2)Верно ли, что AM < AB? 3) Верно ли, что AM + MC < AB + BC?

13 Задача типа: «задайте нужные данные». 1) Через точку проведены три прямые. Величины скольких углов нужно задать, чтобы можно было найти величины остальных углов? 2) Обобщите задачу.

14 Задача типа: «придумайте условие по данному ответу». 1)Задайте функцию с областью определения D(f)=[-1;0). 2)Придумайте квадратичное неравенство, решением которого являются все числа, кроме числа 3. 3)Придумайте неравенство четвертой степени, решением которого являются два числа: 0 и 2.

15 Задача типа: «ослабьте условие в доказанном утверждении». Известное утверждение: площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей. Для каких четырехугольников эта формула тоже верна?

16 Неверные доказательства «Признак»параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и два противоположных угла равны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

17 Открытые задачи с психологической точки зрения Интерес: неизвестное интригует. Повышенная эмоциональность: «я сам открыл!» Равновесие работы правого и левого полушарий. Активная групповая работа с распределением ролей внутри группы.