Тема 10. Упругие волны 10.1. Общие определенияТема 10. Упругие волны 10.1. Общие определения. - презентация

1 Тема 10. Упругие волны Общие определения

2 Вначале – о волнах вообще.

3 Пример поверхностной волны

4 Другие виды волновых процессов. Эффект домино

5

6 Виды волновых процессов (пусковая волна)

7 Можно видеть, как в пусковой волне перемещается точка начала движения – противоположно направлению движения автомобилей.

8 Распространение продольного волнового импульса по упругому стержню

9 Поперечные волны

10 Необходимыми условиями для возникновения волнового процесса являются: 1.Наличие связей между элементами среды распространения данного типа волн. 2.Сообщение одному из элементов среды достаточной первоначальной энергии. Волна – это процесс распространения возмущений в окружающей среде. (Возмущением называют кратковременной отклонение какого-либо параметра среды воздействием извне.)

11 x1x1 x2x2 x P t1t1 t2t2 часы t1t1 t2t2 0 Пусть в какой-то точке х в результате возмущения среды импульсным образом изменилось значение её некоторого параметра Р. Через некоторое время за счет волнового процесса импульс достигнет точки х 1, а затем и х 2.

12 x1x1 x2x2 x P t1t1 t2t2 t1t1 t2t2 v 0 Скорость волны:

13 - одиночная волна (импульс) - цуг волн Гармоническая волна: Форма волны v v v

14 Простейшая одномерная модель связанной системы

15 Модель поперечной волны

16 Модель продольной волны

17 волновой фронт волновые поверхности луч Сферическая волна Цилиндрическая волна Плоская волна Форма волновой поверхности определяет тип волны:

18 Сферическая волна Цилиндрическая волна Плоская волна Обратим внимание на то, что вся энергия, создаваемая волновым генератором, в случае плоской волны всё время проходит через поверхность одной и той же площади. Т.е. амплитуда волны в плоской волне не меняется, что не соблюдается в других типах волн. (Ниже, в §10.4 будет приведено строгое доказательство этого положения.) В этой связи плоская волна проще других в математическом описании, чем мы и воспользуемся при изучении характеристик упругих волн.

19 Тема 10. Упругие волны Плоская волна. Уравнение волны. Параметры волны

20 А - А х 0 х v ξ Пусть генератор поперечных колебаний, который располагается в начале координат, рождает волну, распространяющуюся в направлении оси Х. Процесс колебаний распространяется со скоростью волны V и через некоторое время τ начнётся в точке Х.

21 А х 0 х v ξ уравнение плоской волны волновое число длина волны

22 ξ t T = 2π /ω x = const Из уравнения следует, что в любой фиксированной точке Х происходят те же колебания, что и в начале координат, только с определённой начальной фазой, равной kx.

23 ξ х ξ t T = 2π /ω v x = const t = const Если теперь зафиксировать момент времени наблюдения, то получится своего рода мгновенная фотография колебаний (лучше всего представляется фотография поверхностной волны в бассейне с прозрачной стенкой). Вместе с тем, полученная картинка движется, бежит со скорость v. Поэтому записанное выше уравнение называют уравнением бегущей волны.

24 ξ х ξ t T = 2π /ω x2x2 x1x1 x 2 - x 1 = λ v x = const t = const Рассмотрим теперь расстояние (разность координат) между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе: Это условие означает, что фазы колебаний в двух этих точках разнятся на 2π: Откуда следует, что расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе равно длине волны:

25 ξ х ξ t T = 2π /ω x2x2 x1x1 x 2 - x 1 = λ v x = const t = const Изображение бегущей волны говорит о том, что со скоростью волны бежит её фаза. Поэтому: Фазовую скорость не следует путать со скоростью колеблющихся частиц в волне, которые в данном случае совершают поперечные колебания, т.е. перпендикулярно направлению фазовой скорости.

26 ξ х ξ t T = 2π /ω x2x2 x1x1 x 2 - x 1 = λ v x = const t = const - фазовая скорость Связь длины волны с фазовой скоростью и периодом колебаний частиц среды: - частота Связь основных параметров бегущей волны: длина волны

27 Тема 10. Упругие волны Энергия упругой волны. Вектор Умова

28 l 1 l 2 l 1 >l 2 ΔxΔx Объемная плотность энергии ξ х Рассмотрим энергию малого элемента массы Δ m тела, по которому идёт поперечная упругая волна ( Δ x

29 l1l1 l2l2 ΔxΔx Объемная плотность энергии ξ х Масса элемента определяется его объёмом и плотностью вещества: где u – скорость колеблющихся частиц: Объёмная плотность энергии:

30 Плотность потока энергии (вектор Умова) v vΔtvΔt ΔSΔS ΔV Введём понятие плотность потока энергии как энергию, переносимую в единицу времени через единичную поверхность: Рассмотрим энергию, которая переносится волной через площадку Δ S за время Δ t. где т.е.: Подставив значение объёма, получаем: Эта энергия заключается в объёме

31 v vΔtvΔt ΔSΔS U t - вектор Умова Плотность потока энергии имеет направление, которое, естественно, совпадает с направлением скорости волны (фазовой скорости): Среднее значение плотности потока энергии (среднего по времени модуля вектора Умова) определяется средним значением квадрата косинуса. По модулю: Если внимательно посмотреть на график, то можно видеть:

32 Тема 10. Упругие волны Поток энергии

33 α U S S n Потоком энергии называют энергию, переносимую в единицу времени через данную поверхность. Для плоской волны поток энергии через плоскую площадку определяется скалярным произведением вектора Умова на вектор площадки: Поле вектора Умова для плоской волны является однородным: в любой точке площадки он одинаков по величине и направлению:

34 S dS U Общий случай: произвольная поверхность, поле неоднородное α В этом случае сначала выбирается столь малый элемент поверхности, который можно считать плоским и на котором вектор Умова можно считать неизменным по величине и направлению: а затем полученные элементарные потоки энергии складываются по всей заданной поверхности, т.е. производится интегрирование:

35 Плоская волна Сферическая волна (точечный источник) U U r S

36 Тема 10. Упругие волны Интерференция встречных волн. Стоячие волны

37 ξ х 0 х Пусть две одинаковые по частоте и амплитуде волны встречаются в некоторой точке х : Результирующее смещение будет складываться из смещений, вызванных исходными волнами : Для сложения косинусов воспользуемся известным из тригонометрии преобразованием : В результате получим : т.е. колебания той же частоты, что и в исходных волнах, но с амплитудой, зависящей от координаты х : или :

38 2A 0 -2A 0 х пучности узлы ξ 0 Из последней формулы видно, что в определённых точках амплитуда максимальна и равна удвоенной исходной амплитуде. В таких точках находятся пучности. Таким образом, вместо двух бегущих волн в результате их интерференции получаются колебания с разными значениями амплитуды – стоячая волна. В других точках амплитуда равна нулю. Здесь находятся узлы. 1. Координаты пучностей ( А = 2А 0 )

39 2A 0 -2A 0 х пучности узлы ξ 2. Координаты узлов ξ х стоячая волна бегущая волна

40 Тема 10. Упругие волны Стоячие волны в замкнутом пространстве

41 х l l 0 В точке х = 0 п роисходит наложение волны, идущей слева Пусть вдоль оси х в ограниченном с двух сторон пространстве распространяется волна и волны, пришедшей справа после отражения от правой стенки: При сложении этих волн будут наблюдаться стоячие волны лишь при условии, что при встрече они будут находиться в одной фазе:

42 х l l 0 п=1 п=2 п=3 моды (типы волн) l х 0 Поскольку волновое число то условием для стоячих волн в замкнутом пространстве будет равенство расстояния между стенками целому числу полуволн:

43 Тема 10. Упругие волны Свободные колебания струны

44 n=1 – основная частота, основной тон n=2,3,4,.. – обертоны Образование стоячей волны в струне, закрепленной на обоих концах Частота:

45 Первые пять нормальных мод колебаний струны, закрепленной на обоих концах - основной тон - обертоны