Вероятностно-статистическая линия школьного курса математики ТМОМ Общепедагогические основы обучения математике. - презентация

1 Вероятностно-статистическая линия школьного курса математики ТМОМ Общепедагогические основы обучения математике

2 План 1.Основные цели изучения элементов теории вероятности, комбинаторики и статистики в школьном курсе математики. 2.Краткий обзор учебников по данному разделу. 3.Методические особенности изучения основных понятий этой линии.

3 Стохастика – наука изучающая случайные величины, соединяющая элементы теории вероятности и математической статистики. Стохастика – раздел прикладной математики, применяемой в таких областях знания, как: - физика- экономика - химия - психология - биология - социология - экология - лингвистика Начиная с 2004 года в Государственном стандарте введена стохастическая линия.

4 Причины введения стохастической линии С середины70-х годов прошлого века вопросы теории вероятности, комбинаторики и статистики рассматривались факультативно в старших классах. В содержании современных образовательных программ, закрепленных ГОСтом, элементы теории вероятности и математической статистики выделены в содержательную линию, изучение которой начинается с 5-6 классов и завершается в

5 Значимость элементов знаний стохастической линии определяется широким проникновением прикладной математики в различные сферы человеческой деятельности. Без применения теории вероятности – основы стохастики - сегодня не мыслится принятие любого сколь-либо значимого решения по самым разнообразным проблемам в социокультурной и научно-производственной сферах. Причины введения стохастической линии

6 Основные цели изучения стохастики 1.Знакомство с элементами теории вероятности и математической статистики как адекватным средством описания явлений реального мира путем построения и изучения их стохастических моделей. 2.Развитие навыков вероятностно-статистического аспекта мышления при решении задачи теории вероятности и математической статистики. 3.Повышение уровня математической культуры учащихся на основе применения аппарата теории вероятности как к решению чисто математических задач так и житейских.

7 Содержание стохастической линии школьно курса математики Министерство образования Российской Федерации рекомендует образовательным учреждениям ориентироваться на следующие содержания нового материала: решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения; представление данных в виде таблиц, диаграмм, вариантов, диаграммы Эйлера, средние значения результатов измерений; понятие и примеры случайных событий, частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности; представление о геометрической вероятности.

8 Знания и умения элементарной математики, опорные для стохастической линии операции над действительными числами; осознанное оперирование функциональной символикой; представления о свойствах геометрических объектов; анализ реальных числовых данных на основе таблиц и данных; применение формул для решения различных задач.

9 Требования к подготовке учащихся Согласно требованиям стандарта по математике после данной темы учащиеся должны уметь: 1)находить вероятность случайных событий в простейших случаях; 2)находить частоту событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные; 3)вычислять средние значения результатов измерений.

10 Требования к подготовке учащихся Учащиеся должны использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: 1)сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией; 2)понимания статистических рассуждений; 3)анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц.

11 Краткий обзор учебников Учебники под редакцией Ш.А. Алимова исключены из федерального перечня учебников для обучения в школе из-за того, что в них данная линия не рассматривается. Попытка построения полноправной вероятностно- статистической линии предпринята в рамках учебных комплектов под редакцией Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина.

12 Анализируя учебный комплект в целом необходимо отметить соответствие содержания учебников требованиям государственного стандарта по математике, но с методической точки зрения важно отметить некоторые недостатки учебных комплектов под редакцией Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина : авторы рассмотрели в учебниках три определения вероятности: статистическое, классическое и геометрическое, но все определения разнесены по времени, то есть изучаются в разных классах и между ними не пролеживается никакая связь; Краткий обзор учебников

13 некоторые недостатки учебных комплектов под редакцией Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина : не указаны недостатки и достоинства того или иного определения, области их применении я, особенности каждого из определений вероятности; в каждом конкретном случае учащимся будет трудно определить когда какое определение применить; отсутствует подведение итогов изучения этой линии в основной школе, в конце обучения авторы будто забывают о вероятности вовсе;

14 Краткий обзор учебников некоторые недостатки учебных комплектов под редакцией Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина : задачный материал, предлагаемый в учебниках неполон и недостаточен ; задания, в основном, однотипные; среди задач, представленных в учебнике, сравнительно немного ценных с практической точки зрения, действительно служащих для формирования вероятностно-статистического мышления учащихся.

15 Краткий обзор учебников Учебное пособие А.Г. Мордковича и П.В. Семенова – События. Вероятность. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебрры7-9 кл.- призвано восполнить отсутствие вероятностно-статистической линии. Особенности данного пособия: учебное пособие содержит только классическую схему вероятности, не рассматриваются остальные подходы; статистический материал собран в один параграф и рассматривается поверхностно; упражнения направлены на усвоение новых понятий и алгоритмов, а также имеются задачи практического характера. Данное пособие удовлетворяет всем требованиям государственного стандарта.

16 Краткий обзор учебников Аналогичная ситуация наблюдается в пособии М.В.Ткачевой, Е.В.Федоровой – Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для 7-9 кл. Основное материал представлен частично, содержит излишние факты и понятия.

17 Изучение основных понятий теории вероятности Фундаментальными понятиями вероятностно- статистической линии являются понятия: событие; вероятность; случайная величина.

18 Понятие «событие» изучение связано с теоретико-множественным представлением; для корректного определения понятия необходимо чтобы учащиеся были знакомы с элементами теории множеств; в большинстве действующих традиционных курсах математики эти вопросы не рассматриваются и учителю приходится самому определять, как решать данную проблему.

19 Психологические трудности 1.Очень часто понятие «событие» воспринимается в контексте бытовой лексике, то есть связывается с некоторым единичным актом, локализованным в пространстве и времени, а в математическом определении понятие связывается и с единичным актом, и с некоторым их множеством с числом элементов, больших единицы. 2. Часто не разграничиваются понятия «событие» и «эксперимент». Понятие «событие» формируется на индуктивном уровне, начиная с понятия «элементарный исход» при рассмотрении простейших вероятностных моделей (стрельба по мишени, бросание монеты, бросание игральной кости, извлечение шаров или карт).

20 Последовательность разворачивания понятия Следуя Т. Байесу последовательность разворачивания понятия таково: 1)элементарный исход (событие); 2)невозможные и равновозможные исходы; 3)полная группа событий; 4)классификация событий по степени возможности реализации; 5)отношения между событиями; 6)простые и сложные события.

21 Изучение классификации событий по признаку возможности реализации имеет для учащихся важное мировоззренческое значении, так как формирует понимание того, что в окружающем мире не существует других событий, кроме достоверных, невозможных и случайных. Изучение операций над событиями желательно сопровождать примерами. Методической проблемой является обучение процедуре выделения простых событий. Разрешение этой проблемы происходит только в процессе решения задач. Целесообразно рассмотреть такие задачные ситуации, которые в дальнейшем можно использовать для вычисления вероятности сложного события по вероятности простых.

22 Изучение элементов комбинаторики Элементы комбинаторики – основа для вычисления вероятностей событий в широком классе вероятностных задач. Изучение элементов комбинаторики предшествует изучению второго фундаментального понятия стохастической линии – вероятности.

23 Изучения понятия «вероятность» Формирования понятия начинается с преодоления противоречий между субъективным, житейским опытом употребления и смыслом, вкладываемом в математике. Существуют разные определения понятия «вероятность»: классическое; аксиоматическое; статистическое; субъективное (экспертное). Формирование понятия «вероятность» происходит и в настоящее время, так как философский подход к трактовке данного понятия как «меры объективной возможности наступления или не наступления какого-либо события» для математики неприемлем в силу его размытости.

24 Схема введения понятия «вероятность» по А.Н. Колмогорову 1.Рассматривается классическое определение для классических экспериментов с равновозможными событиями, которые образуют полную группу. 2.Вводится статистическое определение как некоторого числа, около которого колеблется и к которому приближается относительная частота события. 3.Приводится геометрическое определение экспериментов с бесконечным числом исходов. Изучение основных теорем теории вероятности целесообразно осуществлять на основе примеров.

25 Основные теоремы теории вероятности Теорема о сложении вероятностей и следствие из нее. Теорема об умножении вероятностей и следствия из нее. Доказательства теорем не рассматриваются в базовом курсе математики (лишь в профильных классах).

26 Изучение понятия «случайной величины» Вводится конкретно-индуктивным способом через понятие переменной величины. В базовом курсе математики изучаются только дискретные случайные величины и их некоторые характеристики. Определение и свойства непрерывных случайных величин можно ввести и изучать только в профильных классах.

27 Основные характеристики и свойства случайных величин Основные характеристики и свойства случайных величин изучаются на уровне представления: закона распределения случайной величины и графической формы его задания; математического ожидания как точки на числовой прямой; дисперсии как меры концентрации результатов конкретных испытаний. При наличии дополнительных возможностей рассматриваются законы больших чисел и различные виды распределений и их свойства.

28 Благодарю за внимание!