Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 1 г. Суздаля» «Конхоида Никомеда и кубические уравнения. Их связь со знаменитыми. - презентация

1 Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 1 г. Суздаля» «Конхоида Никомеда и кубические уравнения. Их связь со знаменитыми задачами древности на построение». Работу выполнила: ученица 10 «А» класса Бычкова Наталья Александровна. Преподаватель: Плотникова Татьяна Владимировна. 2010г.

2 Цель моей работы Меня заинтересовала тема «Конхоида Никомеда и кубические уравнения. Их связь со знаменитыми задачами древности на построение». Меня заинтересовала тема «Конхоида Никомеда и кубические уравнения. Их связь со знаменитыми задачами древности на построение». Цель моей работы: Цель моей работы: изучить связь знаменитых задач древности на построение с Конхоидой Никомеда и с кубическими уравнениями. изучить связь знаменитых задач древности на построение с Конхоидой Никомеда и с кубическими уравнениями.

3 Задачи В ходе изучения передо мной стоял ряд задач: найти теоретический материал, соответствующий теме; найти теоретический материал, соответствующий теме; изучить его; изучить его; выбрать самые ценные сведения; выбрать самые ценные сведения; оформить и отредактировать весь материал; подобрать соответствующие иллюстрации; оформить и отредактировать весь материал; подобрать соответствующие иллюстрации; сделать приложение к моей работе, презентацию, в которой отображены факты и ценная информация; сделать приложение к моей работе, презентацию, в которой отображены факты и ценная информация; представить работу в электронном виде. представить работу в электронном виде.

4 Франсуа Виет - французский математик XVI века. «…Искусство, которое я излагаю, ново или, по крайней мере, было ново или, по крайней мере, было настолько испорчено временем настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид…» что я счел нужным придать ему совершенно новый вид…»

5 Достижения Виета в науке очень велики. Он изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом трактате «Введение в аналитическое искусство». Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». Он изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом трактате «Введение в аналитическое искусство». Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов».

6 Виет сделал огромный вклад в алгебру, введя буквенное исчисление. Он вычислил число π до 18-го знака после запятой (из них 11 знаков верны). Также его привлекали уравнения различных степеней и любые логические задачи. Он дал формулы разложения тригонометрических функций sin nφ и cos nφ через степени sin φ и cos φ. cos nφ = 2cos φ cos (n – 1)φ – cos (n – 2)φ, sin nφ = 2cos φ sin (n – 1)φ – sin (n – 2)φ. Он также разложил число π в бесконечное произведение косинусов: π/2 = cos π/4 · cos π/8 · cos π/16 · cos π/32 ·...

7 Кубические уравнения Никто из прославленных математиков не создал единолично теорию решения алгебраических уравнений; каждый из них вносил лишь крупицу драгоценных знаний. Никто из прославленных математиков не создал единолично теорию решения алгебраических уравнений; каждый из них вносил лишь крупицу драгоценных знаний.

8 Начало изучения кубических уравнений. Сабит ибн Корра (836901), который перевел на арабский язык некоторые труды Аполлония, Архимеда и Евклида формулируя архимедову задачу о сечении шара плоскостью, самостоятельно пришел к уравнению третьей степени: x 3 + q = px, которое послужило затем толчком для исследования кубических уравнений. Сабит ибн Корра (836901), который перевел на арабский язык некоторые труды Аполлония, Архимеда и Евклида формулируя архимедову задачу о сечении шара плоскостью, самостоятельно пришел к уравнению третьей степени: x 3 + q = px, которое послужило затем толчком для исследования кубических уравнений.

9 Ученые, изучавшие кубические уравнения. Кубическими уравнениями занимались учёные такие, как Ферро, Абу-л-Джуд, Аль-Бируни, Бомбелли(1), да Винчи(2), Ньютон(3), Омар Хайям(4), Кардано(5), Пачоли (6), Тарталья (7), и многие другие арабские и европейские учёные. Кубическими уравнениями занимались учёные такие, как Ферро, Абу-л-Джуд, Аль-Бируни, Бомбелли(1), да Винчи(2), Ньютон(3), Омар Хайям(4), Кардано(5), Пачоли (6), Тарталья (7), и многие другие арабские и европейские учёные.

10 Дальнейшее заметное продвижение в поиске решений кубических уравнений сделал французский математик Франсуа Виет. Это произошло благодаря усовершенствованию символики, в частности, им была введена буквенная система обозначения корней и коэффициентов, что сразу же дало известное правило Виета в виде двух простых формул для квадратного уравнения: Дальнейшее заметное продвижение в поиске решений кубических уравнений сделал французский математик Франсуа Виет. Это произошло благодаря усовершенствованию символики, в частности, им была введена буквенная система обозначения корней и коэффициентов, что сразу же дало известное правило Виета в виде двух простых формул для квадратного уравнения: p = – (x 1 + x 2 ) и q = x 1 x 2 ; для кубического уравнения: для кубического уравнения: x 3 + ax 2 + b x + c = 0 три коэффициента выражались следующими равенствами: три коэффициента выражались следующими равенствами: a = – (x 1 + x 2 + x 3 ), b = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1, c = – x 1 x 2 x 3.

11 Подобные формулы позволили Виету провести более качественный анализ уравнений первых четырех порядков (подстановки, сводящие уравнения 4-ой степени к уравнению 3-ей степени, были представлены уже в «Великом искусстве» Кардано). Подобные формулы позволили Виету провести более качественный анализ уравнений первых четырех порядков (подстановки, сводящие уравнения 4-ой степени к уравнению 3-ей степени, были представлены уже в «Великом искусстве» Кардано).

12 Никомед (Nικoμήδης, лат. Nicomedes, III век до н. э.) древнегреческий математик. Никомед занимался классическими математическими проблемами квадратурой круга и удвоением куба. Для удвоения куба он использовал приём вставок. Никомед занимался классическими математическими проблемами квадратурой круга и удвоением куба. Для удвоения куба он использовал приём вставок.

13 Конхоида Никомеда Для выполнения этого приёма он построил специальную механическую кривую конхоиду (похожая на раковину), которую описал в не дошедшем до нас сочинении. Никомед изобрёл и особый механизм для вычерчивания конхоиды. Для выполнения этого приёма он построил специальную механическую кривую конхоиду (похожая на раковину), которую описал в не дошедшем до нас сочинении. Никомед изобрёл и особый механизм для вычерчивания конхоиды. В 17 и 18 вв. конхоиду исследовали другие ученые. Исаак Ньютон применял ее для геометрического решения уравнения третьей степени. В 17 и 18 вв. конхоиду исследовали другие ученые. Исаак Ньютон применял ее для геометрического решения уравнения третьей степени.

14 Построение конхоиды Никомеда Конхоида определяется Конхоида определяется таким образом : на плоскости фиксируется прямая L и точка О, и задается произвольное число a. Через точку О проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой L в обе стороны откладываются отрезки фиксированной длины а = MM '= MM". Вторые концы этих отрезков (M', M") образуют конхоиду.

15 Задача о трисекции угла с помощью конхоиды по методу Никомеда: Допустим, дан угол АОD, Допустим, дан угол АОD, который необходимо разделить на три части. Проведем через точку А прямую L, параллельную ОD. Построим окружность W с центром в точке А и R = a = ОА. Теперь построим конхоиду по прямой L, точке О и числу а - она будет пересекаться с окружностью W в точке C. окружностью W в точке C. Полученный угол СОD = 1/3 АОD. Полученный угол СОD = 1/3 АОD.

16 Три классические задачи древности. Решение задачи сводится к уравнению х 3 – З х - а = 0. Оказалось, что трисекция угла возможна для тех углов a, для которых корни этого уравнения выражаются через параметр а и целые числа лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Решение задачи сводится к уравнению х 3 – З х - а = 0. Оказалось, что трисекция угла возможна для тех углов a, для которых корни этого уравнения выражаются через параметр а и целые числа лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. Наверное, она возникла в умах математиков как обобщение задачи об удвоении квадрата. Для того чтобы построить квадрат вдвое большей площади, чем данный, достаточно провести у данного квадрата диагональ и принять ее за сторону нового квадрата. К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. Наверное, она возникла в умах математиков как обобщение задачи об удвоении квадрата. Для того чтобы построить квадрат вдвое большей площади, чем данный, достаточно провести у данного квадрата диагональ и принять ее за сторону нового квадрата. Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной. Если обозначить через а длину стороны исходного куба, а через х - длину стороны вдвое большего куба, то получим соотношение х 3 = 2а 3 - снова кубическое уравнение. Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной. Если обозначить через а длину стороны исходного куба, а через х - длину стороны вдвое большего куба, то получим соотношение х 3 = 2а 3 - снова кубическое уравнение.

17 В 1837 г. П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в 1/2 раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба. В 1837 г. П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в 1/2 раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба. Существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. В IV в. до н.э. древнегреческие математики умели находить корень уравнения x 3 = 2a 3 как абсциссу точки пересечения двух парабол х 2 = a у и у 2 = 2ах, а также других конических сечений. Существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. В IV в. до н.э. древнегреческие математики умели находить корень уравнения x 3 = 2a 3 как абсциссу точки пересечения двух парабол х 2 = a у и у 2 = 2ах, а также других конических сечений.

18 1593 г. В 1593 г. Франсуа Виет доказал, что В 1593 г. Франсуа Виет доказал, что любое кубическое уравнение можно свести либо к удвоению куба, либо к трисекции угла. А обе задачи решаются с помощью конхоиды Никомеда. любое кубическое уравнение можно свести либо к удвоению куба, либо к трисекции угла. А обе задачи решаются с помощью конхоиды Никомеда. Исаак Ньютон предлагал включить эту кривую в число «стандартных». Исаак Ньютон предлагал включить эту кривую в число «стандартных».

19 Спасибо за внимание!!!