Шары и многогранники презентация к лекции В.П. Чуваков. - презентация

1 Шары и многогранники презентация к лекции В.П. Чуваков

2 Взаимное расположение шара и плоскости Если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса, то шар и плоскость не имеют общих точек. Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу, то шар и плоскость имеют единственную общую точку и плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса, то пересечение шара и плоскости есть круг радиуса

3 Описанные сферы Определение: Сфера описана около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере Свойство: центр сферы равноудален от всех вершин многогранника

4 Описанные сферы Определение: Плоскость, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку называется серединной перпендикулярной плоскостью. Свойство: Каждая точка серединной перпендикулярной плоскости равноудалена от концов отрезка.

5 Описанные сферы Определение Сфера описана около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере Свойство: центр сферы равноудален от всех вершин многогранника Свойство: Центр описанной сферы – точка пересечения серединных перпендикулярных плоскостей всех ребер многогранника.

6 Теорема 1. Около произвольной треугольной пирамиды можно описать сферу В произвольной треугольной пирамиде серединные перпендикулярные плоскости всех ребер имеют единственную общую точку, равноудаленную от всех вершин пирамиды. Общая точка является центром сферы, описанной около треугольной пирамиды

7 Описанные сферы Утверждение 2. Пусть – произвольная пирамида с основанием Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда вокруг основания можно описать окружность. Свойство: Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на перпендикуляре, проведенном через центр окружности, описанной около основания

8 Описанные сферы

9 Центр сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, лежит на высоте пирамиды

10 Центр сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, лежит на высоте пирамиды

11 Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда призма прямая и около основания можно описать окружность Свойство: Центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры описанных около основания окружностей

12 Вписанные сферы Определение: Сфера вписана в многогранник, если она касается всех граней многогранника Определение: Биссекторной плоскостью двугранного угла называется плоскость, проходящая через ребро двугранного угла и биссектрису линейного угла. Свойство: Биссекторная плоскость - геометрическое место точек, равноудаленных от граней двугранного угла

13 Вписанные сферы Если сфера касается граней двугранного угла, то ее центр лежит на биссекторной плоскости

14 Вписанные шары Свойство: Если сфера вписана в многогранник, то ее центр лежит на пересечении всех биссекторных плоскостей многогранника В произвольную треугольную пирамиду можно вписать сферу

15 Вписанные сферы Центр сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду лежит на высоте.

16 Вписанные сферы Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, лежит на высоте

17 Вписанные шары Если сфера радиуса R касается граней трехгранного угла А куба, то центр сферы лежит на диагонали куба и является вершиной куба с ребром R.

18 Касание лучей угла Если сфера касается двух лучей угла, то центр сферы лежит на плоскости, проходящей через биссектрису угла, перпендикулярно плоскости этого угла. OE= OF= R

19 Приложение Центр сферы лежит на перпендикуляре к основанию, проведенном через центр описанной около основания окружности.

20 Приложение Так как все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним углом, то основание высоты попадает в точку пересечения диагоналей прямоугольника, и любая точка высоты равноудалена от вершин основания. Центр шара лежит на высоте.

21 Приложение

22

23

24

25 Высота пирамиды является пересечением биссекторных плоскостей, центр шара лежит на высоте, а его радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник

26 Приложение

27

28

29 Перевернем куб на другую грань.

30 Приложение

31

32

33 Центр шара лежит в биссекторной плоскости

34 Приложение

35

36 Запишем уравнение сферы, проходящей через заданные точки.

37 Приложение

38

39

40

41 Спасибо!