Алгебра и начала анализа Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10 – 11 - презентация

1 Алгебра и начала анализа Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10 –

2 Требования к зачету: Конспекты Выучить нужные формулы!!! Решение задач по теме Контрольная работа

3 Повторение

4 Действия с дробями

5 Формулы сокращенного умножения a 2b 2 = (a +b)(a b) (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

6 Квадратные уравнения Дискриминант: Если D > 0, то кв. ур-е имеет два различных корня: которые могут быть вычислены по формулам: Если D = 0, то кв. ур-е имеет единственный корень. Если D < 0, то действительных корней нет.

7 Свойства степеней a n · a k = a n + k a n : a k = a n – k ( a n ) k = a n k a n · b n = ( ab ) n b n a n =(ba) n a 0 = 1

8 Теорема Пифагора : Синус. Косинус. Тангенс. Теорема Пифагора. Теорема синусов. Теорема косинусов.

9 Тригонометрические функции числового аргумента 10 класс

10 Радианная мера Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности

11 Радианная и градусная меры связаны зависимостью:

12 Пример Выразить в радианной мере величины углов: Выразить в градусной мере величины углов:

13 0 π2π2 π 3π 2 0 R=1 A B 2π2π C К М N Д F ° 180° 270° 360°

14 Определения Синусом числа х называется ордината точки А, косинусом числа х называется абсцисса точки А, которая получена поворотом начальной точки единичной окружности на угол х. Тангенсом числа х называется отношение синуса числа х к косинусу числа х, котангенсом числа х называется отношение косинуса числа х к синусу числа х.

15 Основные тригонометрические функции

16 Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса и котангенса

17 Пример Упростите выражения: Найдите sinβ, если cosβ = -0,6 и Найдите значение выражения,если, π < β < < х < 2 π

18 Формулы сложения

19 Пример Упростите выражения:

20 Формулы приведения sin α cos α tg α ctg α

21 Пример Найдите значение выражения, если Вычислите:

22 Формулы суммы и разности синусов (косинусов)

23 Пример Докажите тождество:

24 Формулы двойного аргумента

25 Формула половинного аргумента

26 Пример Вычислите значение выражения: Вычислите:

27 x -x y -y 1 1

28 x -x 1 1 y

29 x -х-х 1 1 у -у tgx

30 x -х-х 1 1 y -y

31 Пример Найдите множество значений функций

32 Преобразование графиков Рассмотрим функцию у = f(х)

33 Параллельный перенос вдоль оси Оу f(x) + m=y если m > 0, то вверх если m < 0, то вниз

34 Параллельный перенос вдоль оси Ох y = f(x + m) если m > 0, то влево если m < 0, то вправо

35 Симметрия относительно оси Ох y = - f(x)

36 Симметрия относительно оси Оy y = f(- x)

37 Растяжение или сжатие вдоль оси Оу у = а· f(х) если а > 0, то растяжение если 0 < а < 1, сжатие если а = - 1, то симметрия относительно Ох если а < - 1, то растяжение если -1 < а < 0, то сжатие

38 Растяжение или сжатие вдоль оси Ох у = f(а· х) если а > 1, сжатие если 0 < а < 1, то растяжение

39 Пример Построить график функции у = 1 + 2sin x

40 Построение

41 Четная функция Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(- x) = f(x)

42 Нечетная функция Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(- x) = - f(x)

43 Свойства четных и нечетных функций 1. График четной функции симметричен относительно оси ординат 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат

44 Пример Укажите график функции, не обладающей свойством четности или нечетности y x y = f (x) y x y x y x y = f (x)

45 Периодичность Функция f называется периодической с периодом Т 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х – Т и х + Т равны, т.е. f(x +T) = f(x) = f(х – Т).

46 Определение Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких что х 2 > х 1, выполнено неравенство f(х 2 ) > f(х 1 )

47 Определение Функция f убывает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких что х 2 > х 1, выполнено неравенство f(х 2 ) < f(х 1 )

48 Пример Укажите график функции, убывающей на отрезке y x y = f (x) y x y x x y

49 Окрестностью точки а называют любой интервал, содержащий эту точку

50 Пример Интервал (2; 6) – одна из окрестностей точки 3

51 Определение Точка х 0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство

52 Определение Точка х 0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство

53 Для точек максимума и минимума функции принято общее название – точки экстремума

54 Схема исследования функций 1. Найти область определения и значения данной функции 2. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т.е. является ли функция: а) четной или нечетной; б) периодической 3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат 4. Найти промежутки знакопостоянства функции 5. выяснить, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает 6. Найти точки экстремума, вид экстремума (max или min) и вычислить значения функции в этих точках 7. Исследовать поведение функции в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента

55 Асимптоты ВертикальныеГоризонтальные

56 ctgx

57 Пример Найдите:

58 Решение уравнения cos x=a Частные случаи:

59 Пример Решить уравнение:

60 Решение уравнения sin x=a Частные случаи:

61 Пример Решить уравнение:

62 Решение уравнения tg x=a

63 Пример Решить уравнение:

64 0

65

66

67