11 класс экстернат. Производная Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δх, стремящемся к нулю. - презентация

1 11 класс экстернат

2 Производная Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δх, стремящемся к нулю.

3 Правила дифференцирования

4 Пример

5 Производная сложной функции

6 Пример

7 Производная тригонометрических функций

8 Пример

9 Метод интервалов

10 Пример

11 Возрастание (убывание) функции Найти промежутки возрастания и убывания функции:

12 Пример

13 Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции

14 Признак максимума функции Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума

15 Признак минимума функции Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюса, то х 0 есть точка минимума

16 Пример Исследовать на экстремумы функцию

17 Решение х=2 (меняет знак с плюса на минус) – точка максимума х= 3 (меняет знак с минуса на плюс) – точка минимума

18 Исследование функций и построение их графиков

19 Схема исследования функции (10 класс) 1. 1.Найти область определения и значения данной функции 2. 2.Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т.е. является ли функция: а) четной или нечетной; б) периодической 3. 3.Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат 4. 4.Найти промежутки знакопостоянства функции выяснить, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает 6. 6.Найти точки экстремума, вид экстремума (max или min) и вычислить значения функции в этих точках 7. 7.Исследовать поведение функции в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента

20 Исследовать функцию и построить ее график:

21 Решение 1. 1.Область определения: D (y) = R 2. 2.Четность, нечетность, периодичность тогда функция является ни четной ни нечетной ни периодическая

22 3. 3. Найдем точки пересечения графика с Ох (у = 0):

23 Пересечения с Оу: х = 0, у = 0 Возьмем также дополнительные точки: 4. Найдем производную:

24 5. 5. Составим таблицу: х(-; - 1)- 1(- 1; 0)0(0; 2)2(2; +) f / (х) f(х) убываетminвозрастаетmaxубываетminвозрастает

25 6. Строим график:

26 Наибольшее и наименьшее значение функции Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезках, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

27 Пример Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

28 Определение первообразной. Основное свойство первообразной

29 Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

30 Пример 1 Функция есть первообразная для функции на интервале (- ;), т.к.

31 Пример 2

32 Решить

33 Теорема Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная

34 Таблица первообразных Функц ия k (посто янная) sinxcosx Общи й вид первоо бразн ых для f kx + C -cosx+Csinx + Ctgx+C-ctgx+C

35 Правило 1 Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g

36 Пример Найти общий вид первообразных для функции

37 Правило 2 Если F есть первообразная для f, а k- постоянная, то функция kF – первообразная для kF

38 Пример Найдем одну из первообразных для функции

39 Правило 3 Если F(х) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k 0, то есть первообразная для f(kx + b)

40 Пример Найдем одну из первообразных для функции

41 Решить

42 Площадь криволинейной трапеции Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S = F(b) – F(a)

43 Пример Вычислим площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, прямыми у = 0, х = 1 и х = 2

44 Понятие об интеграле Для любой непрерывной на отрезке [a; b] функции f (не обязательно неотрицательной) S n при n стремится к некоторому числу. Это число называется интегралом функции f от a до b и обозначается

45 Читается: «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс» Числа a и b – пределы интегрирования: а – нижний предел, b – верхний предел Функция f – подынтегральная функция х – переменная интегрирования

46 Формула Ньютона - Лейбница Если F – первообразная для f на [a; b], то

47 Пример Вычислить