Арифметическая прогрессия Теория Задачи для самостоятельного решения Геометрическая прогрессия Теория Задачи для самостоятельного решения Занимательные. - презентация

1

2 Арифметическая прогрессия Теория Задачи для самостоятельного решения Геометрическая прогрессия Теория Задачи для самостоятельного решения Занимательные задачи на применение формул прогрессий Занимательные задачи на применение формул прогрессий

3 Арифметической прогрессией называется ряд чисел, в котором каждое число, начиная со второго, равняется предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным числом Формула п - го члена:а п = а 1 + d(п-1) d- разность арифметической прогрессии: d= а п+1 - а п Характеристическое свойство:а п = (а п-1 + а п+1 ): 2 Формулы суммы п- первых членов:

4 Решение: По условию задачи а 1 + а 3 = 268; а 2 + а 4 = 316, найти требуется а 1, а 2, а 3, а 4, а 5 Составим и решим систему уравнений, используя формулу а п = а 1 + d(п- 1) Подставив полученные значения в формулу а п = а 1 + d(п-1), найдем остальные значения а 2 = 134, а 3 = 158, а 4 = 182, а 5 = 206 Ответ: 110, 134, 158, 182, 206

5 Решение: По условию задачи а 1 = 100, d = 20, S n :n = 220, а найти требуется n. По формуле: значит S n :n = (2а 1 + d(п-1)):2 220 = (2· (п-1)):2 440 = п – 2 п = 13 Ответ: 13

6 Решение: По условию задачи а 1 = 100, d = 3, n = 19, значит найти требуется S 19. По формуле: Ответ: 2413

7 Решение: Первое тело движется равномерно, и поэтому путь, пройденный этим телом, вычисляется по формуле: S=V·t. Движение второго тела подчиняется законам арифметической прогрессии где а 1 = 3, d = 5 Поэтому необходимо найти t. Из условия задачи получаем уравнение: 5t t -153 =0 t 1 =6, t 2 = -10,2 Второй корень не удовлетворяет условию t Ответ: 6

8 1. За изготовление и установку первого железобетонного кольца заплатили 100 уе., а за каждое следующее кольцо платили на 20 уе. больше, чем за предыдущее. На постройку колодца израсходовали 9 колец. Какова стоимость колодца? Ответ: За рытье колодца оплачивается за первый метр глубины 150 уе., а за каждый следующий – на 10 уе. больше, чем за предыдущий. Вычислить стоимость работы, если глубина колодца составила 10 м. Ответ: Шар, катящийся по желобу, в первую секунду проходит 0,6 м, а путь, пройденный в каждую следующую секунду, увеличивается на 0,6 м. Сколько секунд будет двигаться шар по шестиметровому желобу? Ответ:4 4. Турист, двигаясь по пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 в, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на путь, равный 5700 м? Ответ: 8

9 Геометрическая прогрессия - это ряд чисел, каждое из которых получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этого ряда число Формула п - го члена:b п = b 1 ·q n­1 q- знаменатель геометрической прогрессии: q= b n+1 : b n Характеристическое свойство: Формулы суммы п - первых членов:

10 Решение: Бактерия была одна, следовательно, b 1 =1. Она делится на две, значит q=2, а так как время деления полчаса, то за 10 часов произойдет 20 делений и нам нужно найти b 21 По формуле b п = b 1 ·q n­1 b 21 = 1·2 20 = ,05·10 6 Ответ: 10,5·10 6

11 Решение: Из условия задачи получаем, что b 1 =760; q=0,83; n = 16, а найти необходимо b 16. По формуле b п = b 1 ·q n­1, значит: b 16 =760 ·0, ,45 Ответ: 46,45

12 Решение: По условию задачи b 1 =5; b 3 =9,8; n = 5, значит нам необходимо найти b 2, b 4, b 5 Для решения применим формулы: q= b n+1 : b n, b п = b 1 ·q n­1, По условию задачи для того, чтобы найти остальные значения, найдем q, q=b 2 : b 1 = 7:5 = 1,4 b 4 = 9,8 ·1,4 = 13,72 b 5 = 13,72 ·1,4 = 19,208 Ответ: 7; 13,72; 19,208

13 Решение: За один год банк выплатит S 1 = b 1 + b 1 q=b 1 ·(1+q), где b 1 - вклад, q- процентная ставка. За 2 года S 2 =S 1 +S 1 q = S 1 (1+q), но S 1 =b 1 ·(1+q), следовательно, S 2 =b 1 ·(1+q) 2. Тогда за n лет S n = b 1 ·(1+q) n Найдем по этой формуле S 4, S 4 = b 1 ·(1+q) ·(1+2%:100%) 4 = · 1,02 4 = 10824, руб. 32 коп. Ответ:10824,32

14 Решение: 1 день-1 руб, 2 день-1·1,5 руб, 3 день-1·1,5·1,5 руб. Получаем геометрическую прогрессию, где b 1 =1; q=1,5. Соответствие дней и членов геометрической прогрессии следующее: 12 декабря-b 1, 13 декабря-b 2,…, 19 декабря-b 8. Получилось n = 8. Применим формулу суммы: посчитаем S 8 S 8 = 1·(1,5 8 ­1) = 49,26 49 (руб) Ответ: 49

15 1. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины было м³, при условии, что ежегодный прирост древесины составляет 10%? Ответ: 70,8 тыс м³ 2. Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две, а каждая из них к концу следующих 20 минут вновь делится на две и т.д. Найти число бактерий, образовавшихся из одной бактерии к концу суток. Ответ: Клиенту в банке предлагают сделать вклад на условии 2% в месяц. Какая сумма будет на счету через: а) два месяца, б) полугодие, в) десять лет, если первоначальная сумма вклада равнялась 100 тыс. руб (ответ дайте в рублях, округляя до сотых). Ответ: а) ; б) ,24; в) ,3 4. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию. Объём параллелепипеда равен 216 м³, а сумма длин всех его ребер равна 104 м. Найдите измерения параллелепипеда. Ответ:2 м, 6м, 18 м

16 1. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тысяч руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй - 2 коп., в третий - 4 коп., в четвертый - 8 коп. и т.д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от сделки? Ответ: получил 3·10 6 руб., отдал примерно 10 7 руб., богач проиграл 2. У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 3000 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален. Ответ: Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьёт по 40 капель, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)? Ответ: 2 пузырька 4. Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м? Ответ: 10 минут