1)Уравнения вида а^1(Х)=1 На основании определения степени с нулевым показателем решение уравнения α1(Х)=1 сводится к уравнению f(Х)=0, где f(Х)-функция, - презентация

1

2 1)Уравнения вида а^1(Х)=1 На основании определения степени с нулевым показателем решение уравнения α1(Х)=1 сводится к уравнению f(Х)=0, где f(Х)-функция, определённая на множестве R. Решая последнее уравнение относительно Х, найдём корни уравнения,удовлетворяющие уравнению (1).Верно и обратное: если выполняется равенство f(Х)=0, то выполняется равенство (1).

3 Примеры.(Решить уравнения.) 2^Х²-5x²+1 Решение. По определению степени с нулевым показателем имеем: Х^2-5x+6=0, Ответ: Х1=2; Х2=3. Для решения, вычислить:³-27, 121, 481, 532 ; ¹90 Ответы: 3; 11² ; 3 ; 2 ; 0.

4 2)Уравнения вида α^f(х)=α^а. Левая и правая части уравнения α^f(х)=α^α приведены к одному основанию, в этом случае решением уравнения будут корни уравнения f(х)=α. Действительно, разделив уравнение на α^α, где α^α не =0, получим α^f(х)/α^α=1, или α^f(х)-α=1 откуда следует, что f(х)-α=0, f(х)=α

5 Примеры. (Решить уравнения.) 5^x²-5/7*x=725 Решение. Так как 725=5^2/7,то x²- 5/7х=2/7 и 7х²-5х-2=0, х1,2=5±D/14, D=25+56=81,D=9, Х1,2 =5±9/14. Ответ: x1=-2/7 и х2=1 3)Уравнения вида α^f(х)= в Левая и правая части уравнения

6 α^f(х)= в, (1) как правило,не приводятся к одному основанию. Из равенства положительных чисел следует равенство их логарифмов,т.е.(2) f(х)=l g α/l gв, причём уравнения (1) и (2) равносильны: если числа равны, то равны и их логарифмы, и, наоборот,если логарифмы при одном и том же основании равны, то равны и логарифмируемые числа.

7 Из (2) следует, что f(х)=l g в/l gα. Замечание. Уравнение(2) можно было бы решить исходя из определения логарифма: f(х)=lоgαв или логарифмируя по основанию α Примеры.(Решить уравнение 3^2х-1=5^3-х) Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 10(2х-1)l g3=(3-х)l g5; 2х l g 3+х lg5=3 lg5+3 l g3; х(2lg3+lg5)=3lg5+lg3, Ответ: х=3lg5+lg3/2lg3+lg5 Среди показательных уравнений этого вида встречаются такие,которые можно решить, не прибегая к логарифмированию,пользуясь свойствами степеней: Примеры.(Решить уравнения.) 2^х-2=3^х-2.

8 Решение. Разделим обе части уравнения на 3^х-2 не=0. 2^х-2/3^х-2=1, (2/3)^х-2=1, Ответ: х-2= 0, -х=2 4)Уравнения вида А0а^mх +^k0+…+Аnа^mх +^ k n=М Характерной особенностью уравнения вида А0а^mх +^к0+А1а^mх +^к1+А2а^mх + ^к2+…+Аnа^mх +к^n=М, (1) где М,А0,А1,А2,…, Аn, а,m,к0,к1,к2,…,кn- числовые коэффициент, является наличие одного и того же коэффициента перед х.

9 Для решения этого уравнения выносят за скобки общий множитель а^mх +к^ і,где к і- наименьшее из чисел к0, к2,…,кn.После этого уравнение принимает вид: а^mх +к^ і(А0а^к0-к^і+А1а^к1-кі+А2а^к2-к^і +…+Аnа ^кn- к^ і)=М. (2) Выражение,находящееся в скобках уравнения (2), является постоянной величиной; обозначим эту величину буквой N, тогда уравнение(2) примет вид: а^mх = к^ і ·N=М,откуда имеем при N0:

10 А^mх = к і =М/N. (3) Уравнение (3) может оказаться совпадающим с одним из ранее рассмотренных уравнений,а именно: если М/N=1,то оно может приведено к уравнению (1) из 1; если М/N= а ^а,то к уравнению(1)из 2; если М/N= в, то к уравнению(1) из 3. Наконец,если М/N0, то Данное уравнение не имеет решений.

11 Примеры.(Решите уравнение) 2^3х+3·2^3х- ¹=20 Решение. 2^3х-1·(2+3)=20; 2^3х-1·5=20; 2^3х-¹=4,2^3х-1=2^2, 3х-1=2, 3х-1=2, 3х=3, х=1,х=1. Проверка подтверждает,что значение х=1-корень уравнения. 5)Уравнение вида А0а^2х+А1а^х+А2=0. (1) Часто называют трёхчленами показательными уравнениями. Уравнение (1) с помощью подстановки а^х =Y обращается в обычное квадратное уравнение:

12 А0у^2+А1у+А2=0 (2) Решив уравнение(2), найдём у1 и у2.После этого решение уравнения (1) сводится к решению двух уравнений:1)а^х=у1 и 2)а^х=у2.Еслиодновременно у10 и у20, то уравнение (1) не имеет решений. Примеры.(Решить уравнение 3^х+18·3^- х=29. Решение. 3·3^х+18/3^х=29, 3·3^2х- 29·3^х+18=0; 3^х=у,3у^2- 29у+18=0.корни этого уравнения у1=2/3 и у2=9.

13 а)3^х=2/3, хlg3=lg2-lg3, х1=lg2/lg3-1. б)3^х=9, х2=2 Ответ:{lg2/lg3-1;2.} 6)Уравнение вида А0а^х + А1а^х/2*bх/2+А2b^х=0 Содержат степени с разными основаниями, но показатели степеней в крайних членах уравнения вдвое больше, чем показатели степеней среднего члена. Уравнение(1) можно легко привести к виду уравнения (1), из 5.Действительно,разделив уравнение(1)

14 На b ^х0, получим: А0(а/в)^х+А1(а/в)^х/2+А2=0. (2) Уравнение (2) сводится к решению квадратного уравнения. Пусть (а/в)^х/2=у, тогда уравнение (2)примет вид: А0у^2+А1у+А2=0. (3) Найдя у1 и у2 и и и из (3).получим два уравнения: а)(а/в)^х/2=у1 и в) (а/в)^х/2=у2 Е Если у10 и у20, то уравнение (1) не имеет решений. Примеры.(Решить уравнение 2^2х+1- 5·6^х+3^2х+1=0.

15 Решение. 2·2^2х-5·2^х·3^х+3·3^2х=0, 2(2/3)^2х-5(2/3)+3=0; (2/3)^х = у, 2у^2- 5у+3=0, у1=1 и у2=3/2. а)(2/3)^х=1, х1=0; б)(2/3)^х=3/2, (2/3)^х = =(2/3)^-1 Ответ:{-1;0}

16 Решить уравнения: Ответы: х 1,2 =2;1 2х^2-3·5х^2-3=0,01·(10^х-1)^3 5^х-3=7^3-х х=3 3(х^2+х-2)(3-х)=1 х 1,2 =-2;1 (3/7)^3х-7=(7/3)^7х-3 х=1 (3/7)^3х-7=(7/3)^7х-3 х=1 6^2х+4=3^3х·2^х+8 х=4 6^2х+4=3^3х·2^х+8 х=4

17 Презентацию по алгебре выполнила студентка первого курса, 119 группы Фрунзе Светлана