СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ. - презентация

1 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

2 Ключевые слова система счисления цифра алфавит позиционная система счисления основание развёрнутая форма записи числа свёрнутая форма записи числа двоичная система счисления восьмеричная система счисления шестнадцатеричная система счисления

3 Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа,. Алфавит системы счисления - совокупность цифр. Общие сведения Древнеславянская система счисления Вавилонская система счисления Египетская система счисления

4 Узловые числа обозначаются цифрами. Узловые и алгоритмические числа Алгоритмические числа получаются в результате каких- либо операций из узловых чисел =

5 Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Унарная система счисления Узелковое письмо «кипу» Зарубки Примеры узлов «кипу» Узелки, дощечки Камушки

6 Римская система счисления 1I100C 5V500D 10X1000M 50L 40 = XL 1935 MCMXXX 28 XXVIIIV Непозиционная система счисления Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

7 Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит. Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Позиционная система счисления

8 Цифры сложились в Индии около 400 г. н. э. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э. Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе. Десятичная система счисления

9 В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Aq =±(a n–1 q n–1 + a n–2 q n–2 +…+ a 0 q 0 + a –1 q –1 +…+ a –m q –m ) Здесь: А число; q основание системы счисления; a i цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n количество целых разрядов числа; m количество дробных разрядов числа; q i «вес» i -го разряда. Такая запись числа называется развёрнутой формой записи. Основная формула

10 Aq =±(a n–1 q n–1 + a n–2 q n–2 +…+ a 0 q 0 + a –1 q –1 +…+ a –m q –m ) Примеры записи чисел в развёрнутой форме: 2012= ,125= – ,1= –1 Развёрнутая форма

11 Двоичная система счисления Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Двоичный алфавит: 0 и 1. Для целых двоичных чисел можно записать: a n–1 a n–2 …a 1 a 0 = a n–1 2 n–1 + a n–2 2 n–2 +…+ a Например: = = =19 10 Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления: Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

12 Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления a n–1 2 n–1 +a n–2 2 n–2 +… a a 0 = a n–1 2 n–2 +…+ a 1 (остаток a 0 ) 2 a n–1 2 n–1 +a n–2 2 n–2 +… a 1 = a n–1 2 n–3 +…+ a 2 (остаток a 1 ) 2... a n–1 2 n–1 +a n–2 2 n–2 +… a 2 = a n–1 2 n–4 +…+ a 3 (остаток a 2 ) 2 На n-м шаге получим набор цифр: a 0 a 1 a 2 …a n–1

13 = = Компактное оформление

14 Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. a n–1 a n–2 …a 1 a 0 = a n–1 8 n–1 +a n–2 8 n–2 +…+a Пример: = = Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения. Восьмеричная система счисления Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

15 Основание: q = 16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 3АF 16 = = = Шестнадцатеричная система счисления Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления = 9А (А)

16 1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю; 2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка. Цифровые весы Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

17 Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16 Десятичная система Двоичная система Восьмеричная система Шестнадцатеричная система A B C D E F

18 Двоичная арифметика Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения: х Арифметика одноразрядных двоичных чисел Арифметика многоразрядных двоичных чисел Умножение и деление двоичных чисел

19 «Компьютерные» системы счисления Двоичная система используется в компьютерной технике, так как: двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями; представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво; двоичная арифметика наиболее проста; существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных. Двоичный код удобен для компьютера. Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

20 Система счисления это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: A q =±(a n–1 q n–1 + a n–2 q n–2 +…+ a 0 q 0 + a –1 q –1 +…+ a –m q –m ) Здесь: А число; q основание системы счисления; a i цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n количество целых разрядов числа; m количество дробных разрядов числа; q i «вес» i-го разряда. Самое главное

21 Вопросы и задания Чем различаются унарные, позиционные и непозиционные системы счисления? Цифры каких систем счисления приведены на рис.? Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме? Запишите в развёрнутом виде числа: а) 143, б) в) г) 1435,11 5 Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел: а) б) 2ЕА 16 в) г) 10,1 2 д) Укажите, какое из чисел , 111 4,35 8 и1В 16 является: а) наибольшим б) наименьшим Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления. Верны ли следующие равенства? а) 33 4 =21 7 б) 33 8 =21 4 Найдите основание х системы счисления, если: а) 14 x =9 10 б) 2002 x = Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную: а) 89 б) 600 в) 2010 Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную: а) 513 б) 600 в) 2010 Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную: а) 513 б) 600 в) 2010 Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16. Выполните операцию сложения над двоичными числами: а) б) в) Выполните операцию умножения над двоичными числами: а) 1010 · 11 б) 111 · 101 в) 1010 · 111 Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе: а) 1100 ? 11 ? 100 = ; б) 1100 ? 10 ? 10 = 100; в) 1100 ? 11 ? 100 = 0. Вычислите выражения: а) ( AF 16 ):36 8 б) ·2A 16 – Ответ дайте в десятичной системе счисления. Основание 2Основание 8Основание 10Основание А Задачник «Системы счисления»

22 Опорный конспект Непозиционная В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: A q =±(a n–1 * q n–1 + a n–2 * q n–2 +…+ a 0 *q 0 + a –1 * q –1 +…+ a –m * q –m ). Система счисления это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа. Алфавит - совокупность цифр системы счисления. Система счисления Двоичная Десятичная Восьмеричная Шестнадцатеричная Римская Позиционная

23 Источники информации 1. 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66 – Умножение и деление двоичных чисел 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66 – История развития систем счисления 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66 – Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66 - Перевод десятичных чисел в другие системы счисления 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66 - Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66 - Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66 – Задачник 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66 - Развернутая форма записи числа 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66 – Тренировочный тест 6a62-11da-8cd c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62- 11da-8cd c9a66