Ч ислом степеней свободы механической системы называется число независимых величин, с помощью которых определяется ее положение в пространстве. Положение. - презентация

1 Ч ислом степеней свободы механической системы называется число независимых величин, с помощью которых определяется ее положение в пространстве. Положение материальной точки определяется заданием 3-х координат, поэтому у нее 3 степени свободы. Положение твердого тела определяется заданием 3-х координат его центра масс и любой, проходящей через него, плоскости. Ориентация такой плоскости задается вектором нормали, который имеет три проекции. Поэтому у твердого тела всего имеется 6 степеней свободы. Из них 3 степени свободы описывают поступательное движение центра масс, а другие 3 степени свободы описывают вращение тела вокруг этого центра. Ч ислом степеней свободы механической системы называется число независимых величин, с помощью которых определяется ее положение в пространстве. Положение материальной точки определяется заданием 3-х координат, поэтому у нее 3 степени свободы. Положение твердого тела определяется заданием 3-х координат его центра масс и любой, проходящей через него, плоскости. Ориентация такой плоскости задается вектором нормали, который имеет три проекции. Поэтому у твердого тела всего имеется 6 степеней свободы. Из них 3 степени свободы описывают поступательное движение центра масс, а другие 3 степени свободы описывают вращение тела вокруг этого центра Ч исло степеней свободы

2 У системы из N невзаимодействующих материальных точек имеется 3N степеней свободы. Если между 2-мя точками имеется жесткая связь, устанавливающая неизменное взаимное расположение точек, то число степеней свободы уменьшается на 1 и становится равным 5. Если 2 точки связаны друг с другом упругими силами, то расстояние между ними может меняться, поэтому число степеней свободы снова будет равно 6. Расстояние между точками описывает колебания между точками около равновесного положения. Поэтому данную степень свободы называют колебательной. У системы из N невзаимодействующих материальных точек имеется 3N степеней свободы. Если между 2-мя точками имеется жесткая связь, устанавливающая неизменное взаимное расположение точек, то число степеней свободы уменьшается на 1 и становится равным 5. Если 2 точки связаны друг с другом упругими силами, то расстояние между ними может меняться, поэтому число степеней свободы снова будет равно 6. Расстояние между точками описывает колебания между точками около равновесного положения. Поэтому данную степень свободы называют колебательной.

3 У системы из N упруго связанных точек имеется 3N степеней свободы, из которых: 3 степени – отвечают движению центра масс, 3 степени – описывают вращение системы точек вокруг центра масс - это вращательные степени свободы, оставшиеся 3N-6 степеней - описывают колебания точек около равновесных положений – это колебательные степени свободы. У системы из N упруго связанных точек имеется 3N степеней свободы, из которых: 3 степени – отвечают движению центра масс, 3 степени – описывают вращение системы точек вокруг центра масс - это вращательные степени свободы, оставшиеся 3N-6 степеней - описывают колебания точек около равновесных положений – это колебательные степени свободы.

4 Теперь рассмотрим молекулы. При определении числа степеней свободы молекулы входящие в нее атомы надо рассматривать как материальные точки. Гелий Не, неон Ne, аргон Ar – одноатомные газы. У двухатомной молекулы с жесткой связью между атомами имеется 5 степеней свободы. Из них : 3 степени – поступательные - они определяют положение центра масс и 2 степени – вращательные - они задают направление в пространстве линии, проходящей через два атома, и характеризуют вращение молекулы вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, ортогональных к указанной линии. Молекулами с жесткой связью являются N 2, O 2, Н 2, воздух. Теперь рассмотрим молекулы. При определении числа степеней свободы молекулы входящие в нее атомы надо рассматривать как материальные точки. Гелий Не, неон Ne, аргон Ar – одноатомные газы. У двухатомной молекулы с жесткой связью между атомами имеется 5 степеней свободы. Из них : 3 степени – поступательные - они определяют положение центра масс и 2 степени – вращательные - они задают направление в пространстве линии, проходящей через два атома, и характеризуют вращение молекулы вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, ортогональных к указанной линии. Молекулами с жесткой связью являются N 2, O 2, Н 2, воздух.

5 Если два атома в двухатомной молекуле связаны не жестко, а упруго, то расстояние между атомами может меняться и тогда степеней свободы будет ая степень свободы описывает колебания двух атомов около их равновесного положения, поэтому ее называют колебательной степенью. У трехатомной молекулы с жесткими связями имеется 6 степеней свободы, как у твердого тела (3 – поступательные степени и 3 – вращательные степени). Пример – вода H 2 O. 6 степеней свободы имеет и любая многоатомная молекула с жесткими связями. Пример – аммиак NH 3. Если два атома в двухатомной молекуле связаны не жестко, а упруго, то расстояние между атомами может меняться и тогда степеней свободы будет ая степень свободы описывает колебания двух атомов около их равновесного положения, поэтому ее называют колебательной степенью. У трехатомной молекулы с жесткими связями имеется 6 степеней свободы, как у твердого тела (3 – поступательные степени и 3 – вращательные степени). Пример – вода H 2 O. 6 степеней свободы имеет и любая многоатомная молекула с жесткими связями. Пример – аммиак NH 3.

6 Ранее было найдено, что среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа равно Так как все 3 поступательные степени свободы молекулы равноправны, то на 1 поступательную степень приходится энергия (11.4.1) В статистической физике доказывается, что такая же энергия приходится не только на поступательную, но и на каждую степень свободы молекулы. Это утверждение называется законом равнораспределения по степеням свободы. Ранее было найдено, что среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа равно Так как все 3 поступательные степени свободы молекулы равноправны, то на 1 поступательную степень приходится энергия (11.4.1) В статистической физике доказывается, что такая же энергия приходится не только на поступательную, но и на каждую степень свободы молекулы. Это утверждение называется законом равнораспределения по степеням свободы.

7 Например, на 1 вращательную степень свободы тоже приходится энергия, равная. У молекулы, испытывающей колебания, имеется не только кинетическая, но и потенциальная энергия. В среднем эти энергии равны друг другу. Поэтому на колебательную степень свободы молекулы приходится энергия в 2 раза большая и равная kT. В общем случае полное число степень молекулы равно i = i пост + i вр + 2i кол (11.4.2) Тогда средняя энергия любой молекулы может быть записана как (11.4.3) Например, на 1 вращательную степень свободы тоже приходится энергия, равная. У молекулы, испытывающей колебания, имеется не только кинетическая, но и потенциальная энергия. В среднем эти энергии равны друг другу. Поэтому на колебательную степень свободы молекулы приходится энергия в 2 раза большая и равная kT. В общем случае полное число степень молекулы равно i = i пост + i вр + 2i кол (11.4.2) Тогда средняя энергия любой молекулы может быть записана как (11.4.3)

8 В идеальном газе молекулы не взаимодействуют друг с другом, поэтому его внутренняя энергия равна сумме энергий отдельных молекул. Для одного моля идеального газа внутренняя энергия равна (11.4.4) С другой стороны, согласно (11.3.7) U m = с V T, отсюда следует, что молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме равна (11.4.5) В идеальном газе молекулы не взаимодействуют друг с другом, поэтому его внутренняя энергия равна сумме энергий отдельных молекул. Для одного моля идеального газа внутренняя энергия равна (11.4.4) С другой стороны, согласно (11.3.7) U m = с V T, отсюда следует, что молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме равна (11.4.5)

9 Учтем, что для идеального газа с Р = с V + R, поэтому (11.4.6) Следовательно, обе молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы. Выразим постоянную адиабаты через число степеней свободы ( Значит > 1. Опыт показывает, что для разных газов = Учтем, что для идеального газа с Р = с V + R, поэтому (11.4.6) Следовательно, обе молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы. Выразим постоянную адиабаты через число степеней свободы ( Значит > 1. Опыт показывает, что для разных газов =

10 Изопроцессом называется процесс, при котором один из параметров системы остается постоянным. 1)Изохорический процесс: V = const Из уравнения состояния идеального газа для двух температур T 1 и T 2 следует откуда (11.5.1а) В процессе 1 2 происходит нагревание газа В процессе 1 3 происходит охлаждение газа Изопроцессом называется процесс, при котором один из параметров системы остается постоянным. 1)Изохорический процесс: V = const Из уравнения состояния идеального газа для двух температур T 1 и T 2 следует откуда (11.5.1а) В процессе 1 2 происходит нагревание газа В процессе 1 3 происходит охлаждение газа 11.5 Применение первого начала термодинамики к изопроцессам

11 Пусть начальное состояние газа отвечает состоянию при нормальных условиях Т 0 = 0°С = °К, р 0 = 1 атм, тогда для произвольной температуры Т давление в изохорическом процессе находится из уравнения (11.5.1б) Давление газа пропорционально его температуре - Закон Шарля Поскольку d A = pdV = 0, то при изохорическом процессе газ не совершает работу над внешними телами. При этом переданная газу теплота равна d Q = d А + dU = dU То есть при изохорическом процессе вся теплота, передаваемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии. Используя формулу (11.3.7) ), получаем Пусть начальное состояние газа отвечает состоянию при нормальных условиях Т 0 = 0°С = °К, р 0 = 1 атм, тогда для произвольной температуры Т давление в изохорическом процессе находится из уравнения (11.5.1б) Давление газа пропорционально его температуре - Закон Шарля Поскольку d A = pdV = 0, то при изохорическом процессе газ не совершает работу над внешними телами. При этом переданная газу теплота равна d Q = d А + dU = dU То есть при изохорическом процессе вся теплота, передаваемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии. Используя формулу (11.3.7) ), получаем

12 2) Изобарический процесс: p = const В изобарическом процессе газ совершает работу Работа равна площади под прямой изобары. Из уравнения состояния идеального газа получаем 2) Изобарический процесс: p = const В изобарическом процессе газ совершает работу Работа равна площади под прямой изобары. Из уравнения состояния идеального газа получаем

13 Перепишем последнее соотношение в виде Это равенство раскрывает физический смысл газовой постоянной R - она равна работе 1 моля идеального газа, совершаемой им при нагревании на 1° К в условиях изобарного расширения. Возьмем в качестве начального состояния - состояние идеального газа при нормальных условиях ( Т 0, V 0 ), тогда объем газа V при произвольной температуре Т в изобарическом процессе равен (11.5.2) Объем газа при постоянном давлении пропорционален его температуре - закон Гей-Люссака. Перепишем последнее соотношение в виде Это равенство раскрывает физический смысл газовой постоянной R - она равна работе 1 моля идеального газа, совершаемой им при нагревании на 1° К в условиях изобарного расширения. Возьмем в качестве начального состояния - состояние идеального газа при нормальных условиях ( Т 0, V 0 ), тогда объем газа V при произвольной температуре Т в изобарическом процессе равен (11.5.2) Объем газа при постоянном давлении пропорционален его температуре - закон Гей-Люссака.

14 3) Изотермический процесс: Т = const Из уравнения состояния идеального газа тогда следует (11.5.3) Закон Бойля-Мариота Найдем работу газа при изотермическом процессе : 3) Изотермический процесс: Т = const Из уравнения состояния идеального газа тогда следует (11.5.3) Закон Бойля-Мариота Найдем работу газа при изотермическом процессе :

15 Используя формулу (11.3.7) U = с V T, получаем dU = с V dT = 0 Следовательно, внутренняя энергия газа при изотермическом процессе не меняется. Поэтому d'Q = d'A Значит, при изотермическом процессе вся теплота, сообщаемая газу, идет на совершение им работы над внешними телами. Поэтому (11.5.4) Чтобы при расширении газа его температура не понижалась, к газу необходимо подводить количество теплоты, равное его работе над внешними телами. Используя формулу (11.3.7) U = с V T, получаем dU = с V dT = 0 Следовательно, внутренняя энергия газа при изотермическом процессе не меняется. Поэтому d'Q = d'A Значит, при изотермическом процессе вся теплота, сообщаемая газу, идет на совершение им работы над внешними телами. Поэтому (11.5.4) Чтобы при расширении газа его температура не понижалась, к газу необходимо подводить количество теплоты, равное его работе над внешними телами.

16 4) Адиабатический процесс : d'Q = 0 При адиабатическом процессе теплообмен между газом и окружающей средой отсутствует. Из первого начала термодинамики получаем d'A = - dU Поэтому в адиабатическом процессе работа газа над внешними телами совершается за счет убыли его внутренней энергии. Используя dU = с V dT ; d'A = рdV находим рdV = - с V dT С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа следует d(рV) = pdV + Vdp = RdT 4) Адиабатический процесс : d'Q = 0 При адиабатическом процессе теплообмен между газом и окружающей средой отсутствует. Из первого начала термодинамики получаем d'A = - dU Поэтому в адиабатическом процессе работа газа над внешними телами совершается за счет убыли его внутренней энергии. Используя dU = с V dT ; d'A = рdV находим рdV = - с V dT С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа следует d(рV) = pdV + Vdp = RdT

17 Исключая dT, получаем рdV = - с V (pdV + vdp)/R Откуда Интегрируя, находим Исключая dT, получаем рdV = - с V (pdV + vdp)/R Откуда Интегрируя, находим

18 Последнюю формулу можно переписать в виде Следовательно (11.5.5) это уравнение адиабатического процесса - уравнение Пуассона Так как > 1, то у адиабаты давление меняется от объема быстрее, чем у изотермы. Последнюю формулу можно переписать в виде Следовательно (11.5.5) это уравнение адиабатического процесса - уравнение Пуассона Так как > 1, то у адиабаты давление меняется от объема быстрее, чем у изотермы.

19 Используя уравнение состояния идеального газа, преобразуем уравнение Пуассона к виду Значит (11.5.6а) или (11.5.6б) При адиабатическом расширении идеальный газ охлаждается, а при сжатии – нагревается. Используя уравнение состояния идеального газа, преобразуем уравнение Пуассона к виду Значит (11.5.6а) или (11.5.6б) При адиабатическом расширении идеальный газ охлаждается, а при сжатии – нагревается.

20 Найдем работу газа при адиабатическом процессе. Из первого начала термодинамики после интегрирования, находим Выразим работу газа через давление и объем. Для этого преобразуем формулу (11.5.6а) к виду Найдем работу газа при адиабатическом процессе. Из первого начала термодинамики после интегрирования, находим Выразим работу газа через давление и объем. Для этого преобразуем формулу (11.5.6а) к виду

21 Тогда Используя и получаем (11.5.7) Тогда Используя и получаем (11.5.7)

22 Политропический процесс – это процесс в ходе которого теплоемкость газа остается постоянной: c m = const где c m – молярная теплоемкость. Найдем уравнение политропы для идеального газа. Из первого начала термодинамики следует откуда получаем Политропический процесс – это процесс в ходе которого теплоемкость газа остается постоянной: c m = const где c m – молярная теплоемкость. Найдем уравнение политропы для идеального газа. Из первого начала термодинамики следует откуда получаем 11.6 Политропические процессы

23 С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа Поэтому можно записать Поскольку c P = c V + R то С другой стороны, из уравнения состояния идеального газа Поэтому можно записать Поскольку c P = c V + R то

24 Обозначим, получим Интегрируем Следовательно (11.6.1) Это - уравнение политропы, n - показатель политропы. Все предыдущие процессы являются частными случаями политропического процесса: n = 0 изобара c m = c P n = 1 изотерма c m = n = изохора c m = c V n = адиабата c m = 0 Обозначим, получим Интегрируем Следовательно (11.6.1) Это - уравнение политропы, n - показатель политропы. Все предыдущие процессы являются частными случаями политропического процесса: n = 0 изобара c m = c P n = 1 изотерма c m = n = изохора c m = c V n = адиабата c m = 0