Решение квадратных уравнений по формуле Презентацию подготовил Ученик 8 класса МОУ «СОШ 1 г.Ртищево» Клён Александр Николаевич Руководитель: учитель алгебры. - презентация

1

2 Решение квадратных уравнений по формуле Презентацию подготовил Ученик 8 класса МОУ «СОШ 1 г.Ртищево» Клён Александр Николаевич Руководитель: учитель алгебры Бакиева Галина Александровна 2009 год

3 ЦЕЛИ: Образовательная – закрепить навыки решения квадратных уравнений и заданий, связанных с ними, различными способами. развивать логическое мышление, способность мыс- лить, решать учебные задачи и работать с дополни- тельной литературой. Развивающая - Воспитательная - прививать интерес к предмету, формировать комму- никативные и волевые качества, воспитывать твор- ческую личность.

4 Основополагающий вопрос: Как решать квадратные уравнения? Вопросы учебной темы: ? Как определять количество корней квадратного уравнения? Как решать приведенные квадратные уравнения по теореме Виета? Как решать неполные квадратные уравнения? Как определять количество корней квадратного уравнения? Как решать приведенные квадратные уравнения по теореме Виета? Учебные предметы: Алгебра Учебные предметы: Алгебра Участники проекта8 класс Участники проекта: 8 класс Информационные ресурсы: Интернет, печатные издания, мультимедийные приложения.

5 РАЗ, ДВА, ТРИ, ЧЕТЫРЕ, ПЯТЬ НАЧИНАЕМ МЫ СЧИТАТЬ… БЕГАТЬ, ПРЫГАТЬ.МЫ НЕ БУДЕМ БУДЕМ ВЕСЬ УРОК РЕШАТЬ

6 Способы решения квадратных уравнений. 1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х х - 24 = х х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х х - 24 = 0.

7 2. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах 2 + bх + с = 0, а 0 на 4а и последовательно имеем: 4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах) 2 + 2ах b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0, (2ax + b) 2 = b 2 - 4ac, 2ax + b = ± b 2 - 4ac, 2ax = - b ± b 2 - 4ac,

8 О теореме Виета. «Если В + D, умноженное на А - А 2, равно ВD, то А равно В и равно D». На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х - х2 = ab, т.е. х 2 - (а + b)х + аb = 0, то х 1 = а, х 2 = b.

9 3. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х 2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p а) x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0. б) x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0; x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

10 4. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. А. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а 0. 1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а 0, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + b/a x + c/a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 ( - c/a), т.е. х 1 = -1 и х 2 = c/a, что и требовалось доказать.

11 Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней В. Приведенное уравнение х 2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

12 5. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q.

13 Пример 1)Решим графически уравнение х 2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 4

14

15 Группа 1 Решите уравнения рациональным способом а) х²+15х=0 б) 5х²-25=0 в) -9х+5х²=2 г) 2х²+4х=6 д)2х²-9=7х Группа 2 Решите уравнения рациональным способом а) -5х²+4х=0 б) 7х²-49=0 в) 7х+2х²=-3 г) 5х²+2х=3 д)3х²+2=5х

16 ИЭЕОЛМЙБНР ,6 -0, / , ,5 4,5

17 Ответы Группа 1 ЭЙЛЕР математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. Автор св. 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, кораблестроению, теории музыки Группа 2 БИНОМ НЬЮТОНА БИНОМ, формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых x и y.

18 Сесть на краешек стула. Поднять руки, потянуться, напрячь мышцы. Вытянуть руки перед грудью, потянуться. Руки в стороны, потянуться, напрячь мышцы. Обхватить себя руками, выгнуть спину. Принять рабочее положение.

19 Решения уравнений х²+3х-5=0 2х²+3х+1=0 5х²-8х+3=0

20 Задание «Кувшин» «КОД» ) (x 1,x 2 или (x 2,x 1 )- координаты точек координатной плоскости. Меньшее значение корня обозначить x 1,большее обзначить x 2 (x 2 > x 1 ; x 1

21

22 Творческое задание (по желанию) изготовить дидактический материал по теме: Решения квадратных уравнений.

23 МЫ БУДЕМ УЧИТЬСЯ, РАБОТАТЬ С ОХОТОЙ И НИЧЕГО НЕ ПОПРОСИМ ВЗАМЕН КАК ХОРОШО, ЧТО ЕСТЬ НА СВЕТЕ ДВЕ ДРУЖНЫЕ КОМАНДЫ: УЧАЩИХСЯ И УЧИТЕЛЕЙ!

24

25 Литература: Энциклопедия для детей т.11. математика Учебник алгебры за 8 класс. А.Г.Мордкович Задачник алгебры за 8 класс. А.Г.Мордкович