Системы счисления 1. ВведениеВведение 2.Непозиционная система счисленияНепозиционная система счисления 3.Позиционная система счисленияПозиционная система. - презентация

1 Системы счисления 1. ВведениеВведение 2.Непозиционная система счисленияНепозиционная система счисления 3.Позиционная система счисленияПозиционная система счисления 4.Десятичная системаДесятичная система 5.Двоичная системаДвоичная система 6.Восьмеричная системаВосьмеричная система 7.Шестнадцатеричная системаШестнадцатеричная система

2

3 Как это было? Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупотребительной – десятичная.

4 4 Определения Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа: 123, 45678, , CXL Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

5 Системы счисления Непозиционная XXII VII каждой цифре соответствует величина, независящая от ее места в записи числа. Непозиционная XXII VII каждой цифре соответствует величина, независящая от ее места в записи числа. Позиционная величина числа зависит от номера позиции цифры при его записи Позиционная величина числа зависит от номера позиции цифры при его записи

6

7 7 Римская (500 лет до н.э.) Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. Например, II = = 2, здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе. Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц. Пример: число Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII. MCMLXXXVIII = 1000+( )+( ) = 1988 Для изображения чисел в непозиционной системе счисления нельзя ограничится конечным набором цифр. Кроме того, выполнение арифметических действий в них крайне неудобно.

8 Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов

9

10 Позиционной называют систему счисления, в которой число представляется в виде последовательности цифр, количественное значение которых зависит от места (позиции), которое занимает каждая из них в числе позиция * 1 2 позиция * 10 3 пзиция * 100 * (10 3 ) (10 2 ) (10 1 ) (10 0 ) Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Например, 11 – это одиннадцать, а не два: = 2 (сравните с римской системой счисления). Здесь символ 1 имеет различное значение в зависимости от позиции в числе.

11

12 Система счисления Основан ие Алфавит цифр Десятичная100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная20, 1 Восьмеричная80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шестнадцатеричная160, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (10,11,12,13,14,15)

13

14 Десятичная система счисления Десятичная система: первоначально – счет на пальцах разряды сотни десятки единицы = 3· · ·10 0

15

16 16 Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): = система счисления разряды = 1· · · · ·2 0 = = 19

17 17 Примеры: 131 =79 =

18 18 Примеры: = =

19

20 20 Восьмеричная система Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, = система счисления разряды = 1· · ·8 0 = = 100

21 21 Примеры: 134 =75 = = 75 8 =

22 22 Перевод в двоичную и обратно трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 8 = 2 3 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! ! = { {{{

23 23 Таблица восьмеричных чисел X 10 X8X8 X2X2 X8X8 X2X

24 24 Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: Ответ: =

25 25 Примеры: = = =

26 26 Примеры: = = =

27

28 28 Шестнадцатеричная система Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, = 6B 16 система счисления 1C разряды = 1· · ·16 0 = = 453 A, 10 B, 11 C, 12 D, 13 E, 14 F 15 B B C C

29 29 Примеры: 171 = 206 = 1BC 16 = 22B 16 =

30 30 Таблица шестнадцатеричных чисел X 10 X 16 X2X2 X 10 X 16 X2X A B C D E F1111

31 31 Перевод в двоичную систему трудоемко 2 действия трудоемко 2 действия 16 = 2 4 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! ! 7F1A 16 = 7 F 1 A 0111 {{ {{

32 32 Перевод из двоичной системы Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: E E F F Ответ: = 12EF 16

33 33 Примеры: C73B 16 = 2FE1 16 =

34 34 Примеры: = = =

35 35 Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 3DEA 16 = Шаг 1. Перевести в двоичную систему: Шаг 2. Разбить на триады: Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: DEA 16 =

36 36 Примеры: A35 16 = =

37 37 Перевод дробных чисел ,375 = 2 101, разряды = 1· · · ·2 -3 = ,25 + 0,125 = 5,375, ,75 2, ,5 2, ,7 = ? 0,7 = 0, … = 0,1(0110) 2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой = = 0, ,011 2

38 38 Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 1-1=0 1-0= =1 0-0=0 1-1=0 1-0= =1 перенос заем –

39 0 · 0 = 0 1 · 0 = 1 1 · 1 = Примеры:

40 Арифметические операции умножение деление – –