Иррациональные уравнения лекция 1. Автор : Чипышева Людмила Викторовна, учитель математики МОУ Гимназии 80 г. Челябинска. - презентация

1 Иррациональные уравнения лекция 1. Автор : Чипышева Людмила Викторовна, учитель математики МОУ Гимназии 80 г. Челябинска

2 Теоретический материал Определение : иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня ( радикала ). Областью допустимых значений переменных ( ОДЗ ) уравнения называется множество значений неизвестного, при которых имеет смысл ( то есть определены ) его левая и правая части. Число х из ОДЗ уравнения называется его решением, если при подстановке его вместо неизвестного уравнение превращается в верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

3 Теоретический материал Если все корни одного уравнения являются корнями другого уравнения, то второе уравнение называется следствием первого. Два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Если оба уравнения не имеют решений на данном числовом множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве. Арифметическим корнем k- й степени из числа а 0 называется неотрицательное число b (b0), k- я степень которого равна а, k>1, k N.

4 Теоретический материал Если k – число нечётное, то справедливо равенство : Для любого х справедливо : При решении иррациональных уравнений используются два основных метода : 1) Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень ; 2) Введение новых ( вспомогательных ) переменных. Однако иногда приходится применять и искусственные приёмы при решении иррациональных уравнений.

5 Теоретический материал При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду следующее : 1) Если k – число нечётное, то уравнения f(x)=g(x) и равносильны ; 2) Если k – число чётное, то уравнение является следствием уравнения f(x)=g(x), т. е. при переходе от уравнения f(x)=g(x) к уравнению могут ( помните об этом ) появиться посторонние корни. Вот почему при решении иррациональных уравнений необходима проверка найденных решений ( корней ), даже тех, которые вошли в ОДЗ, при условии, если было выполнено возведение в чётную степень обеих частей уравнения.

6 Простейшие иррациональные уравнения : 1) Решить устно :

7 Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 1.

8 Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 1.

9 Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 2. Обратите внимание, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, тем не менее, один корень посторонний !!!!

10 Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 3.

11 Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 4.

12 Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 5.

13 Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 5.

14 Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 6.

15 Методы решения иррациональных уравнений Введение новых ( вспомогательных ) переменных. Пример 7.

16 Пустьзначит Сделаем обратную замену : возведем обе части уравнения в четвертую степень Проверка : x = 2. Ответ : 2. Решить уравнение : Решение : x = 2, 6 = 6 Методы решения иррациональных уравнений Введение новых ( вспомогательных ) переменных. Пример 8.

17 Источники : А. Н. Колмогоров « Алгебра и начала анализа : учебник для классов общеобразовательных учреждений ». В. С. Крамор, К. Н. Лунгу, А. К. Лунгу. « Математика : Типовые примеры на вступительных экзаменах. Пособие для старшеклассников и абитуриентов ».