«Такие разные задачи на движение» Автор: Медведева Анастасия, учащаяся 9а класса МОУ СОШ 3. Руководитель: Алексашина Галина Михайловна, учитель математики. - презентация

1 «Такие разные задачи на движение» Автор: Медведева Анастасия, учащаяся 9а класса МОУ СОШ 3. Руководитель: Алексашина Галина Михайловна, учитель математики. Руководитель: Алексашина Галина Михайловна, учитель математики.

2 Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности. Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности. Д.Пойа Д.Пойа

3 Этапы решения текстовых задач. Этапы решения текстовых задач. Решение текстовых задач осуществляется в несколько этапов: 1.Введение неизвестной величины; 2.Составление уравнений(или нескольких уравнений) и (при необходимости) неравенств; 3.Решение полученных уравнений(неравенств); 4.Отбор решений по смыслу - то есть проверка ответа.

4 А) Задачи на движение по прямой; А) Задачи на движение по прямой; Б) Задачи на движение по окружности; Б) Задачи на движение по окружности; В) Прямолинейное движение не по одной прямой; В) Прямолинейное движение не по одной прямой; Г)Задачи на движение с дополнительной скоростью. Г)Задачи на движение с дополнительной скоростью. Задачи на движение:

5 Из города А в город В, расстояние между которыми равно 300 км, выехал автобус. Через 20 минут навстречу ему из В в А выехал автомобиль и через 2 ч после выезда встретил автобус. С какой скоростью ехал автомобиль, если известно, что она на 20 км/ч больше скорости автобуса? Из города А в город В, расстояние между которыми равно 300 км, выехал автобус. Через 20 минут навстречу ему из В в А выехал автомобиль и через 2 ч после выезда встретил автобус. С какой скоростью ехал автомобиль, если известно, что она на 20 км/ч больше скорости автобуса? РЕШЕНИЕ: РЕШЕНИЕ: Пусть скорость автомобиля равна х км/ч, тогда скорость автобуса равна (х-20) км/ч.В условии задачи сказано, что автомобиль был в пути 2 часа, поэтому он проделал путь 2х км. Автобус был в пути 2 ½ = 7/3 часа и прошел 7/3 (х-20) км. Т.к. расстояние равно 300 км, то получим уравнение: Пусть скорость автомобиля равна х км/ч, тогда скорость автобуса равна (х-20) км/ч.В условии задачи сказано, что автомобиль был в пути 2 часа, поэтому он проделал путь 2х км. Автобус был в пути 2 ½ = 7/3 часа и прошел 7/3 (х-20) км. Т.к. расстояние равно 300 км, то получим уравнение:. 2х+7/3(х-20)=300 6х+7х-140=900 13х=1040 х=80 Значит, скорость автомобиля равна 80 км/ч.

6 р Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 38 км/ч, а вторую-со скоростью 57 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 38 км/ч, а вторую-со скоростью 57 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Решение: Пусть х км-длина половины пути, тогда х/38+х/57=5х/114 часов затрачено автомобилем на весь путь. Так как весь путь 2х км, то найдем среднюю скорость: Пусть х км-длина половины пути, тогда х/38+х/57=5х/114 часов затрачено автомобилем на весь путь. Так как весь путь 2х км, то найдем среднюю скорость: 2х: 5х/114=228/5=45,6 км/ч. Ответ:45,6 км/ч. Ответ:45,6 км/ч.

7 Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Найдите расстояние между пунктами А и В. Решение: Пусть скорость первого пешехода х км/ч, скорость Решение: Пусть скорость первого пешехода х км/ч, скорость второго пешехода у км/ч, весь путь равен z км. Заполним две второго пешехода у км/ч, весь путь равен z км. Заполним две таблицы, охарактеризовав движение пешеходов: таблицы, охарактеризовав движение пешеходов: V (км/ч) V (км/ч) t (ч) t (ч) S (км) S (км) 1 пешеход X z/2x z/2x z/2 z/2 2 пешеход Y z-24/y z-24/y z-24 z-24 V (км/ч) V (км/ч) t (ч) t (ч) S (км) S (км) 1 пешеход X z-15/x z-15/x z-15 z-15 2 пешеход Y z/2y z/2y z/2 z/2 z По условию задачи в первом и во втором случае время одно и то же, поэтому: z/2x=z-24/y z-15/x=z/2y Разделив первое уравнение на второе, получим z/2(z-15) =2(z-24)/z Откуда Z2-52z+480=0 D=k 2 -4ac= (-26) =1156 Z=40 или z=12 Второе значение не удовлетворяет условию, из которого следует, что расстояние между А и В больше 24 км. Итак, расстояние между пунктами равно 40 км. Ответ: 40 км.

8 Из деревни на станцию выехал грузовик, а через 30 мин из деревни в том же направлении выехал легковой автомобиль, который догнал грузовик в 30 км от станции. После прибытия на станцию легковой автомобиль сразу же повернул назад и встретил грузовик в 6 км от станции. Сколько времени понадобилось легковому автомобилю, чтобы догнать грузовик? Из деревни на станцию выехал грузовик, а через 30 мин из деревни в том же направлении выехал легковой автомобиль, который догнал грузовик в 30 км от станции. После прибытия на станцию легковой автомобиль сразу же повернул назад и встретил грузовик в 6 км от станции. Сколько времени понадобилось легковому автомобилю, чтобы догнать грузовик? ВЫПОЛНИМ РИСУНОК К ЗАДАЧЕ. ВЫПОЛНИМ РИСУНОК К ЗАДАЧЕ. 6 км 6 км ДЕРЕВНЯ А В С ДЕРЕВНЯ А В С 30 км 30 км На рисунке точкой А обозначено место где легковой автомобиль догнал грузовик. Точкой В - место встречи легкового автомобиля с грузовым на обратном пути. По условию задачи расстояние АС=30 км, тогда путь грузовика после первой встречи до второй встречи S 1 =АВ=30-6=24 км. Путь легкового автомобиля после первой встречи до второй встречи: S 2 =АС+ВС=30+6=36 км. В задаче требуется найти время легкового автомобиля на участке АD. Обозначим его t час, тогда время грузовика на этом участке (t + 0,5) ч. Пусть V 1 км/ч скорость грузовика, а V 2 км/ч скорость легкового автомобиля на участке АD, тогда получаем уравнение V 1 (t + 0,5)=V 2 t или (V 2 -V 1 )t=0,5V 1. Пусть t 1 – время движения автомобилей между первой и второй встречами, тогда V 1 =24/t 1 км/ч, а V 2 =36/t 1. Подставим значения V 1 и V 2 в уравнения: (V 2 -V 1 )t=0,5V 1 (36/t 1 – 24/t 1 )t=0,5. 24/t 1 12/t 1. t=12/t 1 t=1. Значит, искомое время 1 час. Ответ:1 час.

9 Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень и достигли чужого города: первая в 4 ч пополудни, а вторая в 9 ч. Узнайте, когда они вышли из своих городов. Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень и достигли чужого города: первая в 4 ч пополудни, а вторая в 9 ч. Узнайте, когда они вышли из своих городов. Пусть старушки встретились через х часов после выхода из своих городов. Построим схематически графики движения первой и второй старушек: РР 1 и VV 1 соответственно. Моменту их встречи соответствует точка М графиков. Пусть старушки встретились через х часов после выхода из своих городов. Построим схематически графики движения первой и второй старушек: РР 1 и VV 1 соответственно. Моменту их встречи соответствует точка М графиков. S x N 4 P 1 S x N 4 P 1 V V M M P x K 9 V 1 P x K 9 V 1 Из условия задачи следует, что NP 1 =4, KV 1 =9, а требуется найти PK= х. Из подобия двух пар треугольников VMN и V 1 MK, MPK и MP 1 N получим пропорции: х/9 = MN/MK и MN /MK= 4/х, откуда х/9=4/х. Из условия задачи следует, что NP 1 =4, KV 1 =9, а требуется найти PK= х. Из подобия двух пар треугольников VMN и V 1 MK, MPK и MP 1 N получим пропорции: х/9 = MN/MK и MN /MK= 4/х, откуда х/9=4/х. Последнее уравнение также имеет единственный положительный корень 6, поэтому старушки были в пути 6 ч и вышли из своих городов в 6 ч утра. Последнее уравнение также имеет единственный положительный корень 6, поэтому старушки были в пути 6 ч и вышли из своих городов в 6 ч утра.

10 х Решение: Пусть турист, идущий из пункта А, до встречи шел t часов и прошел х км, тогда после встречи он прошел (х+12) км. Построим графики движения туристов. С М 8 В С М 8 В х+12 х+12 х К х К О 6 А t N 9 Т О 6 А t N 9 Т Из подобия двух пар треугольников AKN и BKM, DKN и CKM составим уравнение Из подобия двух пар треугольников AKN и BKM, DKN и CKM составим уравнение t/8=9/t+6 имеющее один положительный корень 6. t/8=9/t+6 имеющее один положительный корень 6. Из подобия треугольников AKN и BKM составим еще одно уравнение Из подобия треугольников AKN и BKM составим еще одно уравнение 6/8 = х/х+12 имеющее единственный корень 36. 6/8 = х/х+12 имеющее единственный корень 36. Итак, первый турист до встречи прошел 36 км со скоростью 36:6=6 км/ч, а второй - прошел 36+12=48 км со скоростью 48 : (6+6)= 4 км/ч. Расстояние АВ равно 36+48=84 км. Итак, первый турист до встречи прошел 36 км со скоростью 36:6=6 км/ч, а второй - прошел 36+12=48 км со скоростью 48 : (6+6)= 4 км/ч. Расстояние АВ равно 36+48=84 км. Два туриста идут друг другу навстречу – один из пункта А, другой из пункта В Первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй. При встречи оказалось, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 ч, а второй в А – через 9 ч. Определите расстояние АВ и скорость каждого путника.

11 1. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг? Решение: 1 час=60 мин. время в мин. кол-во оборотов 1лыжникх 60/х 60/х 2лыжникх+3 60/х+3 60/х+3 Т.к второй лыжник через час обогнал первого на круг, то получим уравнение: 60/х – 60/х+3=1 60х х/х(х+3)=1 180/х(х+3)=1 Х2+3х-180=0 D=9+720=729 Х=-3-+27/2. Х1=-15(не удовлетворяет);Х2= 12. Значит, время 1 лыжника 12 минут, тогда второго 12+3=15мин.

12 Две точки движутся по окружности длиной 1,2 м с постоянными скоростями. При движении в разных направлениях они встречаются каждые 15 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждую минуту. Найдите скорость движения каждой точки. V1=y м/с V2=x м/с V (м/с) х у t (с) S (м) 15х 15у V2=y м/с V1=x м/с V (м/с)t (с) S (м) 1х60 60х 2у60 60у

13 Автомобиль едет из А в В сначала 2 мин с горы, а затем 6 мин в гору. Обратный же путь он проделывает за 13 минут. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору? Из А в В V км/ч t (ч) S (км) S (км) С горы х2 2х 2х В гору у6 6у 6у А В Обратный путь из В в А: V (км/ч) t (ч) S (км) С горы х6у/х6у В гору у2х/у2х 2Х 6у С х/у =t; 6/t+2t=13 2t 2 -13t+6=0 D=169-48=121 t 1 = (13-11)/4=2/4=1/2 t 2 = (13+11)/4=6 х/у=1/2-невозможно. х/у=6-в 6 раз быстрее с горы. ОТВЕТ:В 6 раз быстрее. РЕШЕНИЕ:

14 Если какое-то тело движется по реке, то при движении против течения его скорость уменьшается, а по течению- увеличивается. То же самое происходит при движении против ветра или по ветру, и т.п., то есть у тела появляется «дополнительная скорость», которая в зависимости от направления движения увеличивает или уменьшает скорость движения. Если какое-то тело движется по реке, то при движении против течения его скорость уменьшается, а по течению- увеличивается. То же самое происходит при движении против ветра или по ветру, и т.п., то есть у тела появляется «дополнительная скорость», которая в зависимости от направления движения увеличивает или уменьшает скорость движения. Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от пункта А до пункта В пароход проходит путь в полтора раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если же они плывут против течения, то пароход проходит путь от В до А в два раза быстрее катера. Найти скорость парохода и катера в стоячей воде. Найти скорость парохода и катера в стоячей воде. РЕШЕНИЕ: Пусть скорость парохода равна х км/ч, РЕШЕНИЕ: Пусть скорость парохода равна х км/ч, тогда скорость катера равна (х-8) км/ч. Обозначив путь от пункта А до пункта В через а км и скорость течения реки у км/ч, заполним первую таблицу, отражающую движение катера и парохода по течению.

15 V (км/ч) t (с) S (км) Пароходх+уа/х+уа1 Катерх+у-8а/х+у-8а1 V (км/ч) t (ч) S (км) Пароходх-уа/х-уа Катер(х-8)-уа/(х-8)-уа Так как по условию задачи время движения парохода по течению в полтора раза меньше, чем время движения катера, получим уравнение а/х+у-8 : а/х+у=1,5 или х+у/х+у-8=1,5. Движение парохода и катера против течения охарактеризуем, заполнив таблицу 2:

16 По условию задачи время парохода, затраченное на путь против По условию задачи время парохода, затраченное на путь против течения, в два раза меньше, чем время катера: течения, в два раза меньше, чем время катера: а/х-8-у : а/ х-у=2 или х-у/х-8-у=2 Получим систему уравнений: х+у/х+у-8=1,5 х+у=1,5х+1,5у-12 0,5х+0,5у=12 х+у=24 х=20 х+у/х+у-8=1,5 х+у=1,5х+1,5у-12 0,5х+0,5у=12 х+у=24 х=20 х-у/х-у-8=2; х-у=2х-2у-16; х-у=16; х-у=16; у=4 х-у/х-у-8=2; х-у=2х-2у-16; х-у=16; х-у=16; у=4 ОТВЕТ:20км/ч; 4 км/ч. ОТВЕТ:20км/ч; 4 км/ч.

17 Если вы хотите научится плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научится решать задачи, решайте их.» Если вы хотите научится плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научится решать задачи, решайте их.» Д.Пойа Д.Пойа