Двойной интеграл Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах 1/13. - презентация

1

2 Двойной интеграл Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах 1/13

3 Замена переменных в двойном интеграле Заменим переменные x и y : Если функции x и y имеют в некоторой области D* плоскости 0uv непрерывные частные производные и не равный нулю определитель: а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле: определитель Якоби (якобиан) Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y). 2/13

4 Замена переменных в двойном интеграле Вычислить двойной интеграл если область D ограничена линиями: xy = 1; xy = 2; y = x; y = 3x. x y 0 D y = 1/x y = 2/x y = x y = 3x Сделаем замену переменных: 3/13

5 Найдем уравнения линий, ограничивающих область D* Замена переменных в двойном интеграле 4/13

6 Выразим переменные x и y через u и v. Найдем частные производные от получившихся функций: Замена переменных в двойном интеграле 5/13

7 Найдем якобиан преобразования: Замена переменных в двойном интеграле 6/13

8 u v D* Построим область D*. Расставим пределы интегрирования, пользуясь формулой (1): Вычислим двукратный интеграл: Замена переменных в двойном интеграле 7/13

9 Двойной интеграл в полярных координатах Рассмотрим частный случай замены переменных: замену декартовых координат x и y полярными координатами r и φ. В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами: Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования равен: 8/13

10 Формула замены переменных принимает вид: Двойной интеграл в полярных координатах Область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат: Лучами α β D*D* r = r 2 (φ ) r = r 1 (φ ) Кривыми Такая область называется правильной областью в полярной системе координат: луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках. r0 9/13

11 Расставим пределы интегрирования: Внутренний интеграл здесь берется при постоянном φ. Двойной интеграл в полярных координатах α β D*D* r = r 2 (φ ) r = r 1 (φ ) r0 10/13

12 Замечания 1 2 Переход к полярным координатам целесообразен, когда подынтегральная функция имеет вид f(x 2 +y 2 ) ; область D есть круг, кольцо или части таковых. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены Двойной интеграл в полярных координатах Уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а совмещают декартовы и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ. 3 11/13

13 Вычислить Перейдем к полярным координатам: Двойной интеграл в полярных координатах Изобразим область D в декартовой системе координат. x y 0 3 D 12/13

14 x y 0 3 D В полярной системе координат эта область будет определяться неравенствами: r = 3 φ Двойной интеграл в полярных координатах π2π 13/13