Треугольники. Задачи на построение.. Содержание: Определение Виды треугольника Первый признак равенства треугольников. Доказательство. Второй признак. - презентация

1 Треугольники. Задачи на построение.

2 Содержание: Определение Виды треугольника Первый признак равенства треугольников. Доказательство. Второй признак равенства треугольников. Доказательство. Третий признак равенства треугольников. Доказательство. Задача на построение правильного многоугольника вписанного в данную окружность. Задача на построение треугольника по трём отрезкам. Задача на построение биссектрисы данного угла.

3 Определение ТРЕУГОЛЬНИК, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (сторонами треугольника), имеющими попарно по одному общему концу (вершины треугольника). Сумма всех углов треугольника равна двум прямым (180°). Площадь треугольника S=1/2 ah, где a любая из сторон треугольника, принимаемая за основание, а h соответствующая высота.

4 Виды треугольника Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия. Треугольники: 1 остроугольный, прямоугольный и тупоугольный; 2 правильный (равносторонний) и равнобедренный; 3 биссектрисы; 4 медианы; 5 высоты; 6 ортоцентр; 7 средняя линия.

5 Первый признак равенства треугольников. Теорема : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

6 Доказательство: Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, у которых АС =А 1 С 1, АВ= А 1 В 1 и углы А и А 1 равны. Так как А = А 1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 С 1 и А 1 В 1. Поскольку АС =А 1 С 1 и АВ= А 1 В 1, то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1, а сторона АС – со стороной А 1 С 1 ; в частности совместятся точки В и В 1, С и С 1. следовательно совместятся стороны ВС и В 1 С 1. Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана. Так как А = А 1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 С 1 и А 1 В 1. Поскольку АС =А 1 С 1 и АВ= А 1 В 1, то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1, а сторона АС – со стороной А 1 С 1 ; в частности совместятся точки В и В 1, С и С 1. следовательно совместятся стороны ВС и В 1 С 1. Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана. А С В А1 С1 В1

7 Второй признак равенства треугольников. Теорема : Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

8 Доказательство: Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, у которых АВ =А 1 В 1, равны углы А и А 1 и В = В 1. Треугольник АВС наложим на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1, а сторона АВ наложится на равную ей сторону А 1 В 1, а вершины С и С 1 оказались по одну сторону от прямой А 1 В 1. Поскольку угол А =А 1 и угол В= В 1, то сторона АС наложится на луч А 1 С 1, а сторона ВС – на луч В 1 С 1 ; Поэтому вершина С общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей на луче А 1 С 1, так и на луче В 1 С 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С 1. Значит совместятся стороны ВС и В 1 С 1, АС и А 1 С 1. Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана. А С В А1А1 В1В1 С1С1

9 Третий признак равенства треугольников. Теорема : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

10 Доказательство: Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, у которых АС =А 1 С 1, АВ= А 1 В 1, и ВС = В 1 С 1 равны. Приложим треугольник АВС к треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1, вершина В совместится с вершиной В 1, а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от А 1 В 1. Луч СС1 пройдет внутри угла. 1)А1В1С1. треугольники А1С1С и В1С1С – равнобедренные (по условию теоремы. т. е. АС =А 1 С 1, АВ= А 1 В 1, и ВС = В 1 С 1.) 1)А1В1С1. треугольники А1С1С и В1С1С – равнобедренные (по условию теоремы. т. е. АС =А 1 С 1, АВ= А 1 В 1, и ВС = В 1 С 1.) 2) Угол 1=углу 2, угол 3=углу4 (по теореме о свойствах угла равнобедренного треугольника), поэтому угол А 1 СВ 1 = углу А 1 В 1 С 1. Следовательно, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана. А В С В1В1 А1А1 С1С1 А1(А) С С1С1 В 1 (В) 12 34

11 Задача на построение биссектрисы данного угла.

12 Задача на построение правильного многоугольника вписанного в данную окружность

13 Задача на построение треугольника по трём отрезкам.

14