Повторим значения синуса косинуса у π/2 90° 120° 2π/3 1 π/3 60° 135° 3π/4 π/4 45° 150° 5π/6 1/2 π/6 30° 180° π -1 0 1 0 0° x - - -1/2 ½ 2π 360 (cost) - презентация

1

2 Повторим значения синуса косинуса у π/2 90° 120° 2π/3 1 π/3 60° 135° 3π/4 π/4 45° 150° 5π/6 1/2 π/6 30° 180° π ° x /2 ½ 2π 360 (cost) 210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6] - 225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4] 240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3] 270° 3π/2 [-π/2] (sint)

3 Арксинус Примеры: у х π/2 -π/2 1 а arcsin а = t - а arcsin(- а )= - arcsin а arcsin(- а ) Арксинусом числа а называется такое число (угол) t из [-π/2;π/2], что sin t = а. Причём, | а | 1. Арксинусом числа а называется такое число (угол) t из [-π/2;π/2], что sin t = а. Причём, | а | 1.

4 Арккосинус у х π/2 0π 1 -а а arccos а = t arccos(-а) Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0;π], что cos t = а. Причём, | а | 1. Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0;π], что cos t = а. Причём, | а | 1. arccos( - а) = π- arccos а Примеры: 1)arccos(-1) = π 2)arccos

5 При каких значениях х имеет смысл выражение: 1.arcsin(2x+1) 1.arcsin(2x+1) 2.arccos(5-2x) 3.arccos(x²-1) 4.arcsin(4x²-3x) 1) -1 2х х 0 -1 х 0 Ответ: [-1;0] 1) -1 2х х 0 -1 х 0 Ответ: [-1;0] 2) х х -4 2 х 3 Ответ: [2;3] 2) х х -4 2 х 3 Ответ: [2;3] -1 х² х² 2 Ответ: -1 х² х² 2 Ответ: -14х²-3х1 4х²-3х -1 4х²-3х 1 4х²-3х-1 0 Ответ: -14х²-3х1 4х²-3х -1 4х²-3х 1 4х²-3х-1 0 Ответ:

6 Повторим значения тангенса и котангенса Линия тангенсов tg t ЄR, но t + π k, kЄZ у π/2 2π/3 π/3 1 5π/6 π/4 π/6 ctg t ЄR, но t 0 + πk, kЄZ 0 х Линия котангенсов у 4π/3 -π/2 π 0 х

7 Арктангенс у π/2 -π/2 х 0 а arctgа = t Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (-π/2;π/2), что tg t = а. Причём, а Є R. Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (-π/2;π/2), что tg t = а. Причём, а Є R. arctg(-а) = - arctg а -а-а arctg(-а ) Примеры: 1) arctg3/3 = π/6 2) arctg(-1) = -π/4

8 Арккотангенс у х 0π а arcctg а = t Арккотангенсом числа а называется такое число (угол) t из (0;π), что ctg t = а. Причём, а ЄR. Арккотангенсом числа а называется такое число (угол) t из (0;π), что ctg t = а. Причём, а ЄR. arcctg(- а) = π – arcctg а - а arcctg(- а) 1) arcctg(-1) = Примеры: 3π/4 2) arcctg3 = π/6

9 Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1.cost = а, где |а| 1 или Частные случаи 1)cost=0 t = π/2+πk kЄZ 2)cost=1 t = 0+2πk kЄZ 3)cost = -1 t = π+2πk kЄZ 2.sint = а, где | а | 1 или Частные случаи 1)sint=0 t = 0+πk kЄZ 2)sint=1 t = π/2+2πk kЄZ 3)sint = - 1 t = - π/2+2πk kЄZ 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk kЄZ 4. ctgt = а, аЄR t = arcctg а + πk kЄZ

10 Примеры: 1) cost= - ½; 2) sint = 0; 3) tgt = 1; 4) ctgt = - t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ±2π/3+2πk, kЄZ t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ±2π/3+2πk, kЄZ Частный случай: t = 0+πk, kЄZ Частный случай: t = 0+πk, kЄZ t = arctg1+πk, kЄZ t = π/4+πk, kЄZ. t = arctg1+πk, kЄZ t = π/4+πk, kЄZ. t = arcctg( )+πk, kЄZ t = 5π/6+πk, kЄZ. t = arcctg( )+πk, kЄZ t = 5π/6+πk, kЄZ.

11 Решение простейших уравнений 1)tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ. 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin(x/3) = 0 частный случай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Ответ: 3πk, kЄZ.

12 Другие тригонометрические уравнения 1.Сводимые к квадратным asin²x + bsinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| 1, тогда ap² + bp + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения. 1.Сводимые к квадратным asin²x + bsinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| 1, тогда ap² + bp + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения. 2.Однородные 1)Первой степени: asinx + bcosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx. Получим: простое уравнение atgx + b = 0 или tgx = m 2.Однородные 1)Первой степени: asinx + bcosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx. Получим: простое уравнение atgx + b = 0 или tgx = m 2)Второй степени: asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: atg²x + btgx + c = 0. 2)Второй степени: asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: atg²x + btgx + c = 0.

13 Простые тригонометрические неравенства 1) cost > а y x а arccosа -arccosа Ответ: (-arccos а+2πk; arccos а+2πk), kЄZ 2) sint < а y x а arcsin а -(π+arcsin а) Ответ: (-(π+arcsin а)+2πk; arcsin а+2πk), kЄZ 3) tgt > -а y x -а-а -arctg а π/2 Ответ: (-arctg а+πk; π/2+πk), kЄZ 4) ctgt > а y x а 0 arcctg а Ответ: (0+πk; arcctg а+πk), kЄZ.