Учебный проект по теме: «Наибольшие и наименьшие значения и изопериметрические задачи в математике» Учениц 10 «А» класса Бельской Кристины, Кирюхиной Таисии. - презентация

1 Учебный проект по теме: «Наибольшие и наименьшие значения и изопериметрические задачи в математике» Учениц 10 «А» класса Бельской Кристины, Кирюхиной Таисии. Учитель-консультант Ганиева Алсу Азватовна.

2 «Всё моё, моё!» говорит жадный человек, собирая свои руки в круг, показывая, как много добра он может ими захватить. При этом не подозревая, что демонстрирует решение одной из самых древних задач математики изопериметрической задачи»

3 «Существует оптимальное расстояние, на котором женское лицо выглядит привлекательнее всего; поскольку в двух случаях – на нулевом и бесконечном расстоянии – привлекательность обращается в нуль (ничего не видно), то между этими пределами, естественно, должен существовать максимум».

4 Аргументация Ежедневно в нашей жизни нам встречаются задачи на нахождение наибольших или наименьших значений, потому что разумный человек непременно ищет такой путь, который поможет ему достигнуть наибольшей выгоды. Но при этом мы даже и не подозреваем, что в таком простом бытовом случае мы решаем изопериметрические задачи.

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 Изопериметрические задачи: Изопериметрические задачи (от изо... (греч.) - постоянный и периметр) – класс задач вариационного исчисления на нахождение наибольшего или наименьшего значения (например, площади) по заданной величине (например, периметру).

15 Цели нашего проекта: понять, что входит в термин изопериметрической задачи; рассмотреть доказательства некоторых изопериметрических задач; научиться решать изопериметрические задачи различными методами; определить взаимосвязь между задачами, которые рассматриваются в курсе алгебры и геометрии; выявить важность изопериметрических задач в науке.

16 Принцесса Дидона – дочь финикийского царя и жена жреца Геракла Акербаса.

17 Задача Дидоны заключается в том, чтобы от прямой линии берега, верёвкой данной длины отгородить участок земли наибольшей площади. Задача Дидоны в точности равносильна изопериметрическ ой задаче.

18 Формулировки задачи Дидоны: Среди замкнутых плоских фигур, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь. Среди замкнутых плоских фигур, имеющих заданную длину, найти кривую, имеющую минимальный периметр.

19 Задача Пахома: Крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром Р=40 км.

20 P=AB+BC+CD+AD=40 S=(2+10)/2*13=78 Составим таблицу для вычисления площадей прямоугольников с различными длинами сторон:

21 Периметр Р40 Стороны а b Площадь S Вывод. Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пахом, например, мог бы пройти всего 36 км и иметь участок площадью 81 км²

22 Зенодор Зенодор (II век до н. э.), древнегреческий математик, жил в Александрии. Жил между Архимедом (250 до н. э.), о котором он упоминает, и Квинтилианом, который упоминает его.

23 Основные теоремы Зенодора: Из двух правильных многоугольников с равными периметрами большим будет тот, у которого больше углов. Если круг и правильный многоугольник имеют одинаковый периметр, то круг будет больше. Из всех многоугольников равного периметра и с равным числом сторон наибольшим будет правильный многоугольник.

24 Архимед Архимед( 287 до н. э. 212 до н. э.) древнегреческий математик, физик, механик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.

25 Последняя теорема Архимеда: «Из всех шаровых сегментов с равновеликой поверхностью полушар имеет наибольший объем».

26 Якоб Штейнер Якоб Штейнер ( ) – великий немецкий геометр. Родился в Швейцарии в крестьянской семье, Штейнер был математиком самоучкой.

27 Замечательное доказательство Якоба Штейнера: «Рассмотрим фигуру, которая при данной длине периметра имеет наибольшую площадь». Почему фигура вообще существует?

28 Задача Ферма- Торричелли- Штейнера На плоскости даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Для какой точки Т плоскости сумма расстояний АТ+ВТ+СТ наименьшая?

29 Решение Выстроим отрезки AT, ВТ и СТ в ломаную линию. Теперь, однако, вместо симметрии применим поворот. Повернём плоскость на 60° вокруг точки А, при этом точка С перейдёт в некоторую точку D, а точка Т в точку N. Треугольник AND равен треугольнику АТС, поскольку переходит в него при повороте на 60°, значит TC=ND. Треугольник ANT равносторонний, так как АТ=AN и TAN=60°, поэтому TA=TN. Итак, сумма АТ+ВТ+СТ равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD.

30 Равенство достигается, когда точки В, Т, N, и D лежат на одной прямой (в указанной последовательности). Это означает, что BTA+ ATN=180° и, следовательно, BTA=120°; а также AND+ ANT= 180°, значит, AND=120°, поэтому ATC=120°. Таким образом, лучи ТА, ТВ и ТС образуют два угла в 120°, поэтому и третий угол между ними также равен 120°

31 Теорема ФермаТорричелли Штейнера «Если все углы треугольника меньше 120°, то точкой минимума суммы расстояний до его вершин является точка Торричелли. Если же один из углов больше или равен 120°, то такой точкой является вершина этого угла».

32 Схема решения задач: Выражаем интересующий нас элемент (например, площадь) произвольной фигуры, принадлежащей к данному классу (например, прямоугольников) через другие элементы. Пользуясь наложенными на фигуру ограничениями (например, заданным периметром), записываем величину этого элемента через исходные данные и независимый параметр. Получаем функцию одной независимой переменной. Определяем область изменения этой переменной. Отыскиваем максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

33 На графике показана среднесуточная температура воздуха в течение двух недель августа 1993 года в Иркутске. Какого числа из наблюдаемого периода температура была максимальной? Ответ: 16 числа

34 Итоги: В ходе нашего проекта мы выяснили, что изопериметрические задачи в алгебре и геометрии действительно имеют самую тесную связь. Решив и изучив задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений, а так же геометрические задачи на нахождение наибольшей площади по заданному периметру или наибольшего объема по заданной площади, мы узнали и способы решения задачи, и что эти задачи действительно имеют множество сходных черт. Изопериметрические задачи - это не только пример старинной математики, но и задачи, которые встречаются каждому из нас в реальной жизни.