1. В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1. Ответ: 60 o. - презентация

1 1. В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1. Ответ: 60 o.

2 2. В кубе A…D 1 найдите косинус угла между прямыми AA 1 и BD 1. Ответ:

3 3. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB и A 1 C. Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C. В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1. В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна. Следовательно,

4 4. В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1.

5 Решение 1. Пусть O 1 – центр правильного шестиугольника A 1 …F 1. Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1, и искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен углу B 1 AO 1. В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 имеем: O 1 B 1 = 1; AB 1 =AO 1 =. Применяя теорему косинусов, получим.

6 Решение 2. Введем систему координат, считая началом координат точку A, точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка С 1 имеет координаты (1,5,, 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0,5,, 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем,. Следовательно, косинус угла между прямыми AB 1 и BС 1 равен 0,75.

7 5. В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1.

8 Решение 1. Прямая AE 1 параллельна прямой BD 1. Угол между прямыми AB 1 и BD 1 равен углу B 1 AE 1. В треугольнике B 1 AE 1 имеем: AB 1 =, AE 1 = 2, B 1 E 1 =. Применяя теорему косинусов, получим.

9 Решение 2. Введем систему координат, считая началом координат точку A, точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка D 1 имеет координаты (1,, 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0,, 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем,,. Следовательно, косинус угла между прямыми AB 1 и BС 1 равен.

10 6. В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1.

11 Решение 1. Докажем, что угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о. Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. А именно, если ортогональная проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Ортогональная проекция BE 1 на плоскость ABB 1 есть прямая A 1 B, перпендикулярная AB 1. Следовательно, прямая BE 1 также будет перпендикулярна прямой AB 1, т.е. искомый угол равен 90 о.

12 Решение 2. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AB 1, и обозначим G 1 ее точку пересечения с прямой A 1 B 1. Искомый угол равен углу E 1 BG 1. Сторона BG 1 треугольника E 1 BG 1 равна. В прямоугольном треугольнике BEE 1 катеты BE и EE 1 равны соответственно 2 и 1. Следовательно, гипотенуза BE 1 равна. В прямоугольном треугольнике G 1 A 1 E 1 катеты A 1 G 1 и A 1 E 1 равны соответственно 2 и. Следовательно, гипотенуза G 1 E 1 равна. Таким образом, в треугольнике BE 1 G 1 имеем: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. По теореме, обратной к теореме Пифагора, получим, что угол E 1 BG 1 равен 90 о.

13 Решение 3. Введем систему координат, считая началом координат точку A, точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1), точка E имеет координаты (0,, 0). Тогда точка E 1 имеет координаты (0,, 1), Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (-1,, 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем и, следовательно, угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о.

14 7. В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC. Ответ: 45 o.

15 8. В кубе A…D 1 найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью BC 1 D. Ответ:

16 9. В кубе A…D 1 найдите угол между прямой и плоскостью AB 1 и ABC 1. Ответ: 30 o.

17 10. В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью BA 1 D. Ответ: 90 o.

18 11. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью: AA 1 и AB 1 C 1. Ответ:

19 12. В кубе A…D 1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC и AB 1 D 1. Ответ:

20 13. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A 1 B 1 C. Решение: Обозначим O, O 1 - середины ребер AB и A 1 B 1. Искомым линейным углом будет угол OCO 1. В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем OO 1 = 1; OC = Следовательно,

21 14. В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABB 1 и CDD 1. Ответ: 60 о.

22 15. В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC 1 и DEE 1. Ответ: 30 о.

23 16. В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями CDF 1 и AFD 1. Ответ: Решение: Пусть O – центр призмы, G, G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1. Искомый угол равен углу GOG 1. В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о.