Аффинные преобразования. Проект Унжиной Анастасии. 10 класс. - презентация

1 Аффинные преобразования. Проект Унжиной Анастасии. 10 класс.

2 Методологический паспорт. Тема: Аффинные преобразования плоскости. Проблема: Изучение понятия аффинных преобразований плоскости, их свойств, особенностей и применения на практике. Актуальность: Углубление знаний по теме позволило с большей легкостью решать планиметрические задачи, задачи на соотношения отрезков. Объект исследования: Аффинные преобразования фигур на плоскости, параллельное проектирование, неподвижные точки аффинных преобразований. Цель: Углубление знаний по теме, решение задач. Задачи: Изучение теоретического материала, исследование свойств различных видов аффинных преобразований, решение задач. Методы исследования: Теоретический и практический.

3 Определение аффинных преобразований. Аффинным называется преобразование плоскости, переводящее каждую прямую в прямую и параллельные прямые а параллельные.

4 Свойства аффинных преобразований. 1) аффинные преобразования сохраняют линейные отношения между векторами. 2) Аффинные преобразования сохраняют отношения коллинеарных отрезков. В частности, середины отрезков переходят в середины отрезков, а медианы треугольников, соответственно, в медианы образов этих треугольников. 3) При аффинных преобразованиях отрезки переходят в отрезки, треугольники – в треугольники, тетраэдры – в тетраэдры. 4) К омпозиция аффинных преобразований плоскости является аффинным преобразованием плоскости.

5 Теорема о задании аффинных преобразований. Для любых данных треугольников АВС и АВС существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А, В в В, С в С. Доказательство: На прямой АС отметим все точки, расстояние от которых до точки С кратно длине отрезка АС, и проведем через них прямые, параллельные ВС. Аналогично с ВС, AC и BC.

6 Докажем, что вершины параллелограммов построенных по треугольнику ABC переходят в вершины параллелограммов, построенных аналогичным образом по треугольнику АВС. Вершина D параллелограмма АСВD перейдет в вершину D параллелограмма А В С D, так как прямые AD и BD, параллельные прямым ВС и АС, перейдут в прямые AD и BD, параллельные прямым ВС и AD.

7 Центры всех параллелограммов первой решетки переходят в центры соответствующих параллелограммов второй решетки. Произвольная точка М определяет последовательность вложенных параллелограммов с уменьшающимися сторонами. Этой последовательности соответствует аналогичная, (точка М). Образ любой точки определяется однозначно.

8 Неподвижные точки - основная характеристика аффинного преобразования. Возможны варианты: 1) Нет неподвижных точек. (Параллельный перенос) 2) Одна неподвижная точка. (Центральная симметрия) 3) Если аффинное преобразование имеет две неподвижные точки А и В, то любая точка прямой АВ является неподвижной точкой этого преобразования.

9 Возьмем С (С АВ), и покажем, что φ (С) = С. (А) = А и (В) = В, следовательно (АВ) = (АВ). Поэтому (С) (АВ). Далее, согласно свойству аффинных преобразований, (А, В, С) = ( (А), (В), (С)), т.е. (А, В, С) = (А, В, (С)). Отсюда следует, что (С) = С.

10 Метод аффинных преобразований. Использование преобразований для решения задач.

11 Задача 1. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения ее боковых сторон, лежат на одной прямой.

12 Решение. Переведем треугольник AKD в равнобедренный треугольник AK'D (например, сдвигом вдоль прямых параллельных AD). Для равнобедренной трапеции AB'C'D утверждение задачи почти очевидно, а значит, оно справедливо и для исходной трапеции ABCD

13 Задача 2. На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d прямые, проходящие через B, C, D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b, c, d проходят через одну точку.

14 Решение. Переведем параллелограмм ABCD в квадрат со стороной ВС. P точка пересечения прямых b и d. Нам достаточно доказать, что прямая PC параллельна MK. Угол между прямыми CP и b равен 45°, но угол между прямыми MK и KL тоже равен 45°, и b параллельна KL, следовательно, CP параллельна MK. Треугольник KLM стал равнобедренным прямоугольным. Проведем b||KL, d||LM.

15 Задача 3. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку B проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ AC в точке P, а через точку C прямая, параллельная стороне AB и пересекающая диагональ BD в точке Q. Докажите, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

16 Решение. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее ABCD в равнобедренную. Тогда при симметрии относительно серединного перпендикуляра к AD точка P переходит в точку Q, т. е. прямые PQ и AD параллельны.

17 Параллельное проектирование. Пусть М – произвольная точка пространства. Через эту точку проведем прямую, параллельную l. Точка Р пересечения прямой с плоскостью называется параллельной проекцией точка М на плоскость в направлении прямой l. Если М – точка плоскости, то Р совпадает с М.

18 Параллельное проектирование – вид аффинного преобразования. Проекция прямой есть прямая. Все прямые, проектирующие точки данной прямой m, принадлежат некоторой проектирующей плоскости, которая пересекает плоскость проекции по некоторой прямой m – параллельной проекции прямой m.

19 Задача 4. На диагоналях АС и ВА боковых граней параллелепипеда АВСDA B C D выбраны точки M и N, так, что отрезок MN параллелен диагонали параллелепипеда DB. Найти соотношение MN к DB.

20 Преобразуем параллелепипед в куб с помощью аффинного преобразования. Посмотрим на этот куб вдоль диагонали ВС, спроектировав нужные нам точки в плоскость DCB A. Из теоремы Фалеса следует, что образ отрезка MN будет равен одной трети образа диагонали DB, т.е. MN : DB = 1 : 3. Решение.

21 В пирамиде АВСD точки M, F и K – середины ребер ВС, AD и CD соответственно. На прямых АМ и CF соответственно взяты точки Р и Q так, что PQ BK. Найдите соотношение PQ : BK. Задача 5.

22 Решение. В качестве плоскости проектирования выберем основание пирамиды АВС, а в качестве прямой – FC. Образом отрезка FK будет отрезок CK = FK = 0.5 AC. Образом отрезка PQ будет отрезок PC. (PC BK) Следовательно, искомое соотношение между отрезками PQ и BK равно 2 : 5.

23 Выводы: Выполнение исследований позволило доказать, что аффинные преобразования на плоскости и в пространстве помогают решать задачи, актуальные в реальной жизни и на экзамене – на параллельность, соотношения отрезков, построение образов фигур и т.д.

24 Библиография: 1) А.Д. Александров и др. «Геометрия». Академический школьный учебник 11. Москва ) Д.В. Беклемишев. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры». Москва ) С.П. Фиников. «Аналитическая геометрия. Курс лекций». Москва ) И.П. Егоров. «Высшая геометрия». Москва ) Ю. В. Садовничий и др. «Аналитическая геометрия. Курс лекция с задачами». Москва ) В. Мирошин «Параллельное проектирование в задачах» 7) Е. В. Потоскуев «Геометрия. 10 класс.» Москва )А. Заславский «Геометрические преобразования» Санкт- Петербург 2004