Автор Батырова Алия ученица 11 класса МОУ-СОШ с. Кировское. - презентация

1 Автор Батырова Алия ученица 11 класса МОУ-СОШ с. Кировское

2 Задачи на переливания можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма, на котором нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.

3 Имеются два сосуда - трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

4 В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5- литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом.

5 Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

6 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Пусть шар находится в левом нижнем углу* и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны*. Координаты точки, в которую ударился шар - (0;3). Это означает, что мы полностью наполнили жидкостью малый сосуд*, а большой остается пока пустым

7 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится в точку нижнего борта*, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд*

8 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Отразившись от точки (3;0), шар ударится о верхний борт в точку с координатами 3 по горизонтали и 3 по вертикали*. Это означает, что в обоих сосудах станет по 3 литра жидкости*

9 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Вновь отразившись, шар покатится вправо вниз, в точку, координаты которой 5 по горизонтали и 1 по вертикали*, то есть большой сосуд будет полностью заполнен*, а в малом сосуде останется 1 литр жидкости

10 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Отразившись от правой боковой стенки параллелограмма, шар ударится в точку с координатами 0 по горизонтали и 1 по вертикали*. Это означает, что пятилитровый сосуд будет опустошен*, а малый сосуд будет по-прежнему содержать 1 литр жидкости

11 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Отразившись от левой боковой стены параллелограмма, шар ударится в точку, координаты которой 1 по горизонтали и 0 по вертикали*, то есть жидкость из малого сосуда переливается в большой сосуд*

12 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 На следующем шаге, шар ударится в точку с координатами 1 по горизонтали и 3 по вертикали*, значит малый сосуд полностью наполнится жидкостью*, а в большом сосуде пока остается 1 литр

13 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 И, наконец, шар попадает в точку, с координатами 4 по горизонтали и 0 по вертикали*, что соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом - 4 литра воды*

14 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды*. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице*

15 0 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 Существует и второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд Из таблицы видно, что второй путь дает нам более короткое решение.

16 Метод бильярда можно применить к любой задаче о переливании жидкости с помощью не более чем трех сосудов. Рассмотрим другую интерпретацию предыдущей задачи.

17 Имеются три сосуда - восьмилитровый, полностью наполненный водой, пятилитровый и трехлитровый. Необходимо с помощью двух пустых сосудов емкостью 3 и 5 литров поровну разделить воду в два больших сосуда.

18 3 л 5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Диаграмма для этой задачи та же, только для фиксирования воды в третьем, восьмилитровом сосуде, дополнительно проводится диагональ параллелограмма*. Она делится наклонными прямыми на 8 частей* л 8 22

19 3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Пусть шар находится в левом нижнем углу параллелограмма* и после удара начнет перемещаться вправо, вдоль нижней стороны, до тех пор, пока не достигнет точки, координаты которой 5 по горизонтали и 0 по вертикали* л 2 8

20 3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 После отражения шар попадает в точку*, координаты которой 2 по горизонтали, 3 по вертикали и 3 по диагонали. Это означает, что жидкость из пятилитрового сосуда переливается в трехлитровый сосуд* л

21 3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Отражаясь от верхнего борта, шар попадает в точку* с координатами 2 по горизонтали, 0 по вертикали и 6 по диагонали. Это означает, что жидкость из трехлитрового сосуда переливается в восьмилитровый сосуд* л

22 3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 На следующем шаге шар попадет в точку*, координаты которой 0 по горизонтали, 2 по вертикали и 6 по диагонали. Это означает, что жидкость из пятилитрового сосуда переливается в трехлитровый* л

23 3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Отразившись от левого борта, шар попадет в точку* с координатами 5 по горизонтали, 2 по вертикали и 1 по диагонали, это означает, что жидкость из восьмилитрового сосуда переливается в пятилитровый* л

24 3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Отразившись от правого борта, шар попадает в точку*, координаты которой 4 по горизонтали, 3 по вертикали и 1 по диагонали. Это означает, что жидкостью из пятилитрового сосуда наполняется трехлитровый сосуд* л

25 3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 После отражения шар покатится в точку*, координаты которой 4 по горизонтали, 0 по вертикали и 4 по диагонали. Это означает, что жидкость из трехлитрового сосуда переливается в восьмилитровый сосуд* л

26 3 л5 л таблица переливаний 3 л 5 л 0 0 Таким образом получена последовательность переливаний, приводящих нас к правильному решению*. Все 7 переливаний схематически изображены в таблице* л