Курс лекций по теоретической механике Динамика (I часть) Бондаренко А.Н. Москва - 2007 Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором. - презентация

1 Курс лекций по теоретической механике Динамика (I часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

2 Лекция 8. Лекция 8 Законы сохранения. Элементы теории моментов инерции. Кинетический момент твердого тела. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела. Пример решения задачи на использование теоремы об изменении момента количества движения системы. Элементарная теория гироскопа.

3 Лекция 8 21 Следствия из теоремы об изменении момента количества движения системы (законы сохранения): 1. Если в интервале времени [t 1, t 2 ] вектор главного момента внешних сил системы относительно некоторого центра равен нулю, M O e = 0, то вектор момента количества движения системы относительно этого же центра постоянен, K O = const – закон сохранения момента количества движения системы). 2. Если в интервале времени [t 1, t 2 ] главный момент внешних сил системы относительно оси x равен нулю, M x e = 0, то момент количества движения системы относительно оси x постоянен, K x = const. Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z. 2. Момент инерции твердого тела относительно оси: m O h h Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси. m k O hkhk Момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений массы каждой точки на квадрат расстояния этой точки до оси. Элементы теории моментов инерции – При вращательном движении твердого тела мерой инерции (сопротивления изменению движения) является момент инерции относительно оси вращения. Рассмотрим основные понятия определения и способы вычисления моментов инерции. 1. Момент инерции материальной точки относительно оси: При переходе от дискретной малой массы к бесконечно малой массе точки предел такой суммы определяется интегралом: -осевой момент инерции твердого тела. Кроме осевого момента инерции твердого тела существуют другие виды моментов инерции: - центробежный момент инерции твердого тела. - полярный момент инерции твердого тела. 3. Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей – формула перехода к параллельным осям: dm O1O1 O2O2 Момент инерции относительно исходной оси Статические моменты инерции относительно исходных осей Масса тела Расстояние между осями z 1 и z 2 Таким образом: Если ось z 1 проходит через центр масс, то статические моменты равны нулю:

4 Лекция 8 ( продолжение 8.2 ) 22 4.Момент инерции однородного стержня постоянного сечения относительно оси: x z L Выделим элементарный объем dV = Adx на расстоянии x: x dx Элементарная масса: Для вычисления момента инерции относительно центральной оси (проходящей через центр тяжести) достаточно изменить расположение оси и задать пределы интегрирования (-L/2, L/2). Здесь продемонстрируем формулу перехода к параллельным осям: zСzС 5. Момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно оси симметрии: H R dr r Выделим элементарный объем dV = 2πrdrH (тонкий цилиндр радиуса r) : Элементарная масса: Здесь использована формула объема цилиндра V=πR 2 H. Для вычисления момента инерции пустотелого (толстого) цилиндра достаточно задать пределы интегрирования от R 1 до R 2 (R 2 > R 1 ): 6. Момент инерции тонкого цилиндра относительно оси симметрии ( t

5 Лекция 8 ( продолжение 8.3 ) 2323 Дифференциальное уравнение вращения твердого тело относительно оси: Запишем теорему об изменении кинетического момента твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: Кинетический момент вращающегося твердого тела равен: Момент внешних сил относительно оси вращения равен вращающему моменту (реакции и сила тяжести моментов не создают): Подставляем кинетический момент и вращающий момент в теорему Пример: Два человека одинакового веса G 1 = G 2 висят на канате, переброшенном через сплошной блок весом G 3 = G 1 /4. В некоторый момент один из них начал подниматься по канату с относительной скоростью u. Определить скорости подъема каждого из людей. 1. Выбираем объект движения (блок с людьми): 2. Отбрасываем связи (опорное устройство блока): 3. Заменяем связь реакциями (подшипника): 4. Добавляем активные силы (силы тяжести): 5. Записываем теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси вращения блока: R Так как момент внешних сил равен нулю, то кинетический момент должен оставаться постоянным: В начальный момент времени t = 0 было равновесие и K z0 = 0. После начала движения одного человека относительно каната вся система пришла в движение, но кинетический момент системы должен остаться равным нулю: K z = 0. Кинетический момент системы складывается из кинетических моментов обоих людей и блока: Здесь v 2 – скорость второго человека, равная скорости троса, Пример: Определить период малых свободных колебаний однородного стержня массы M и длиной l, подвешенного одним концом к неподвижной оси вращения. x y z С O Или: В случае малых колебаний sin φ φ : Период колебаний: Момент инерции стержня:

6 Лекция 8 ( продолжение 8.4 – дополнительный материал ) 2424 Элементарная теория гироскопа: Гироскоп – твердое тело, вращающееся вокруг оси материальной симметрии, одна из точек которой неподвижна. Свободный гироскоп – закреплен так, что его центр масс остается неподвижным, а ось вращения проходит через центр масс и может принимать любое положение в пространстве, т.е. ось вращения изменяет свое положение подобно оси собственного вращения тела при сферическом движении. Основное допущение приближенной (элементарной) теории гироскопа – вектор момента количества движения (кинетический момент) ротора считается направленным вдоль собственной оси вращения. Таким образом, несмотря на то, что в общем случае ротор участвует в трех вращениях, принимается в расчет только угловая скорость собственного вращения ω = dφ/dt. Основанием для этого является то, что в современной технике ротор гироскопа вращается с угловой скоростью порядка рад/c (около об/мин), в то время как две другие угловые скорости, связанные с прецессией и нутацией собственной оси вращения в десятки тысяч раз меньше этой скорости. Основное свойство свободного гироскопа – ось ротора сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета (демонстрируется маятником Фуко, сохраняющим неизменной по отношению к звездам плоскость качания, 1852 г.). Это вытекает из закона сохранения кинетического момента относительно центра масс ротора при условии пренебрежения трением в подшипниках осей подвески ротора, внешней и внутренней рамы: Действие силы на ось свободного гироскопа. В случае действия силы, приложенной к оси ротора, момент внешних сил относительно центра масс не равен нулю: h x y z ω ω С Производная кинетического момента по времени равна скорости конца этого вектора (теорема Резаля): Это означает, что ось ротора будет отклоняться не в сторону действия силы, а в сторону вектора момента этой силы, т.е. будет поворачиваться не относительно оси x (внутренняя подвеска), а относительно оси y (внешняя подвеска). При прекращении действия силы ось ротора останется в неизменном положении, соответствующем последнему моменту времени действия силы, т.к. с этого момента времени момент внешних сил вновь становится равным нулю. В случае кратковременного действия силы (удара) ось гироскопа практически не меняет своего положения. Таким образом, быстрое вращение ротора сообщает гироскопу способность противодействовать случайным воздействиям, стремящимся изменить положение оси вращения ротора, а при постоянном действии силы сохраняет положение плоскости, перпендикулярной действующей силе, в которой лежит ось ротора. Эти свойства используются в работе инерциальных систем навигации.