Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва - 2007 Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором. - презентация

1 Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

2 Лекция 13. Лекция 13 Аналитическая механика. Обобщенные координаты. Уравнения связей. Возможные перемещения. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Примеры использования принципа возможных перемещений при определении реакций связей.

3 15 Лекция 13 Аналитическая механика – устанавливает общие, единые методы изучения движения и равновесия любых самых сложных материальных систем средствами математического анализа. Для этого вводятся новые понятия и обобщаются старые. Связи – рассматриваются теперь как некоторые условия, налагаемые на систему, которые должны удовлетворяться в процессе движения системы. Они содержат соотношения (уравнения или неравенства) между координатами, компонентами скоростей и ускорений и, возможно, времени. Классификация связей: По интегрируемости: Голономные (геометрические) – выражаются конечными уравнениями относительно координат или интегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат: Неголономные (кинематические) - выражаются неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат, т.е. уравнениями, содержащими не только координаты точек системы, но и их производные по времени: Неинтегрируемость состоит в том, что их нельзя привести к виду уравнений голономной связи. По зависимости от времени: Склерономные (стационарные) – не зависящие от времени: Например, уравнение траектории, полученное для некоторой точки шатуна кривошипно-шатунного механизма: рассматривается как уравнение cклерономной голономной связи: Реономные (нестационарные) – зависящие от времени. Например, кинематическое возбуждение колебаний. По освобождаемости: Неосвобождающие (удерживающие или двухсторонние) – описываются уравнением, исключающим возможность покидания точкой траектории или поверхности, описываемой уравнением. Этому соответствует, например, жесткая связь в виде шарнирного стержня. Освобождающие (неудерживающие или односторонние) – выражаются неравенством, регламентирующим связь лишь в одном направлении, например, гибкая нить или гладкая поверхность. Обобщенные координаты – независимые параметры, однозначно определяющее положение механической системы при ее движении. Обобщенность состоит в том, что они могут иметь различную природу (линейные или угловые перемещения относительно некоторого начального положения или какие-либо другие величины). Общее обозначение – q i (i = 1,…,n). Число степеней свободы – число независимых обобщенных координат, через которые можно выразить декартовые координаты всех точек системы. Например: A x y yAyA xAxA O Здесь положение любой точки стержня (например, А) однозначно определяется значением всего одной величины – угла, который является обобщенной координатой (q = ). Число степеней свободы равно n = 1. Уравнение связи для рассматриваемой точки A: Если на систему N точек в пространстве наложено m голономных связей, то декартовые координаты всегда могут быть выражены конечными соотношениями: Число обобщенных координат равно n = 3N – m.

4 Лекция 13 ( продолжение – 13.2 ) Возможные перемещения – бесконечно малые перемещения, допускаемые наложенными на систему связями. С точностью до бесконечно малых приращения радиуса-вектора лежат в касательной плоскости к поверхности связи и представляют собой возможные перемещения. В случае нестационарной голономной связи f(x,y,z,t) = 0 возможные перемещения рассматриваются для положения и формы поверхности связи, соответствующих данному моменту времени. Возможные перемещения не зависят от приложенных к системе сил. Действительные перемещения – бесконечно малые (элементарные) перемещения, действительно (фактически) происходящие за время dt, допускаемые наложенными на систему связями. Действительные перемещения зависят от сил, приложенных к системе, от вида связей (стационарных, нестационарных, голономных, неголономных) и начальных условий. Таким образом, возможные перемещения являются более общим понятием, чем действительные перемещения. T бsбs ds Поскольку вектор положения точки системы можно выразить через обобщенные координаты, то возможные перемещения выражаются через приращения обобщенных координат как полный дифференциал: или Вычисление возможных перемещений: Геометрический способ - в силу малости возможных перемещений при повороте твердого тела любая его точка может рассматриваться движущейся не по дуге, а по перпендикуляру к радиусу вращения в сторону угла поворота: бyAбyA бxAбxA A x y yAyA xAxA O x A O бxAбxA бyA=бsAбyA=бsA Для малых углов cos 1, sin, тогда: Например, для наклонного стержня: A y O x бsAбsA Аналитический способ – вычисляется вариация от координат: В отличие от геометрического способа знаки возможного приращения координат получаются автоматически. При использовании геометрического способа в дальнейших вычислениях, например, работы, необходимо учитывать направление полученного приращения (перемещения) Возможная работа силы – элементарная работа силы на том или ином возможном перемещении: В координатном виде: В естественном виде:

5 Лекция 13 ( продолжение – 13.3 ) 1717 Примеры использования принципа возможных перемещений для определения реакций связей: Пример 1. Определить реакцию балки в правой опоре: A B a l Балка неподвижна и не имеет ни возможных, ни действительных перемещений. Отбросим связь, реакция которой отыскивается, и заменим ее реакцией: Без правой опоры балка может поворачиваться под действием активных сил, реакцию R B причисляем к активным силам. Зададим малое возможное перемещение: Идеальные связи – связи, при которых сумма элементарных работ сил реакций связи на любом возможном перемещении равна нулю: Примеры идеальных связей: абсолютно гладкая поверхность (при скольжении), абсолютно твердая поверхность (при качении без скольжения). Любую неидеальную связь можно рассматривать как идеальную, если соответствующие реакции связи (совершающие работу на возможных перемещения) причислить к задаваемым (активным) силам. Принцип возможных перемещений – Для равновесия материальной системы, подчиненной голономным, стационарным, двухсторонним и идеальным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении из предполагаемого положения равновесия равнялось нулю: Доказательство необходимости: Система находится в равновесии и для каждой точки удовлетворяется уравнение равновесия: Умножим скалярно на вектор возможного перемещения точки и сложим: = 0 Доказательство достаточности: Дано: Предположим, что равновесия нет. Тогда каждая из точек под действием активных сил придет в движение, переместится за время dt на малое действительное перемещение dr. Рассматривая эти перемещения, как возможные, вычислим работу и просуммируем: = 0 Получили противоречие с исходным равенством. Значит предположение об отсутствии равновесия неверно. б бsPбsP бsBбsB Запишем сумму работ: Вычислим возможные перемещения: Пример 2. Определить опорный момент многопролетной составной балке в левой опоре: б бsPбsP бsBбsB Отбросим в жесткой заделке связь, препятствующую повороту балки, и заменим ее парой сил M A : MAMA A B a l l C D E b b бsDбsD Вычислим возможные перемещения: Запишем сумму работ: Заметим, что 1. для нахождения опорного момента M A из уравнений статики потребовалось бы решить как минимум три уравнения равновесия; 2. эпюра возможных перемещений пропорциональна линии влияния усилия; 3. если задать возможное перемещение для искомой реакции равным 1, например, б =1, то эпюра перемещений будет полностью тождественна линии влияния поскольку