Метод тригонометрических подстановок Презентацию выполнил: Ведин Артём. - презентация

1 Метод тригонометрических подстановок Презентацию выполнил: Ведин Артём

2 Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.

3 Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной определяются неравенством |x|1, то удобны замены x=cos или x=sin. В первом случае достаточно рассмотреть [- /2; /2], так как на этом промежутке непрерывная функция y=sin x возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке.

4 Непрерывная функция y=cos x убывает на промежутке [0; ], поэтому также каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены x=cos, достаточно взять [0; ].

5 В случаях, когда переменная может принимать любые действительные значения, используются замены x=tg, ( /2; /2) или x=ctg, (0; ), так как область значения функции y=tg x и y=ctg x на соответствующих промежутках есть множество всех действительных чисел.

6 Когда выражение зависит от двух переменных x и y, целесообразно положить x=r sin, y=r cos, где r R, r 0. Такая замена законна. Действительно, для любых x и y существует такое r 0, что x 2 +y 2 =r 2. При r 0 имеем

7 А числа, сумма квадратов которых равна единице, по модулю не превосходят единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Геометрический смысл такой замены состоит в следующем: для каждой точки (x;y) определяется расстояние r до начала координат и угол наклона вектора (x;y) к положительному направлению оси абсцисс.

8 Теперь решим несколько примеров

9 Пример 1. Решить уравнение Конечно, данный пример можно разрешить, возведя в квадрат, не забыв про условие. Но тогда получится уравнение шестой степени, которое решается не совсем просто. Решение задач Пример 1

10 Легче сделать так: Пусть x=cos, [0; ], тогда Решение задач Пример 1 Лишь три корня удовлетворяют условию 0 :

11 Решение задач Пример 1

12 Пример 2. Решить уравнение Перепишем пример в таком виде: Решение задач Пример 2Пример 1

13 Пример 2 С учетом замены уравнение принимает такой вид:

14 Решение задач Пример 2 Используем формулу разности синусов:

15 Решение задач Пример 2 Учитывая, что [0; ], получаем

16 Пример 3. Решить уравнение Поделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет вид Решение задач Пример 3Пример 2

17 Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы. Пусть |x|>1, тогда |4x 2 3|>1, |x(4x 2 3)|>1. Получили, что при |x|>1 левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно. Решение задач Пример 3

18 Положим x=cos, [0; ]. Уравнение примет вид Решение задач Пример 3

19 Условию [0; ] удовлетворяют три значения Решение задач Пример 3

20 Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней, то мы нашли все решения. Решение задач Пример 3

21 Пример 4. Решить уравнение Пусть x=t+1, тогда уравнение перепишется в виде Решение задач Пример 4 Введем замену Пример 3

22 Это уравнение мы уже решали. Его корни Пример 4 Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только

23 Перейдем к переменной t, а затем к переменной x Решение задач Пример 4

24 Пример 5. При каких а неравенство имеет решение. x=y=0 не является решением неравенства, поэтому поделим обе части неравенства на x 2 +y 2. Решение задач Пример 5 Неравенство имеет решение при а большем наименьшего значения выражения Пример 4

25 Положим x=r cos, y=r sin, [0; ], тогда Решение задач Пример 5

26 Оценим выражение Решение задач Пример 5 Наименьшее значение выражения равно 4,5. Значит, при a> 4,5 неравенство имеет решение. Ответ: a> 4,5

27 Презентация окончена Спасибо за внимание. Решение задач Пример 5