Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва - 2007 Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором. - презентация

1 Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

2 Лекция 10. Лекция 10 Пример решения задач на использование теоремы об изменении кинетической энергии системы. Потенциальное силовое поле. Силовая функция. Потенциальная энергия системы. Закон сохранения механической энергии.

3 Пример решения задачи на применение теоремы об изменении кинетической энергии для системы – Массивный бумажный рулон радиуса R, приведенный в движение толчком, катится без проскальзывания по инерции вверх по наклонной шероховатой плоскости под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Коэффициент трения качения f k. Определить начальную скорость рулона, необходимую для того, чтобы он мог перевалить через вершину высотой H от начального положения. Дано:, f k, H, R Найти: v 0 1. Выбираем объект - рулон 2. Отбрасываем связи – опорную плоскость 3. Заменяем связи реакциями – N, F тр, M к 4. Добавляем активные силы – G 5. Записываем теорему об изменении кинетической энергии для твердого тела: Кинетическая энергия на вершине равна нулю: Работа сил, приложенных к объекту, равна: Работа нормальной реакции равна нулю: Работа силы тяжести: Работа момента сопротивления качению: Подставляем определенные величины в теорему: Заметим, что выражение для начальной скорости не зависит от массы рулона. Масса рулона, как мера инертности, будет влиять на величину усилия, которое должно быть приложено к телу, чтобы сообщить ему указанную начальную скорость. Кинетическая энергия в начальный момент времени равна: Момент инерции массы сплошного цилиндра равен: Угловая скорость равна: Тогда кинетическая энергия в начальный момент времени: Работа силы трения скольжения равна нулю (приложена в МЦС): Момент сопротивления качению: Разность углов поворота рулона: После некоторых сокращений и преобразований получаем: Лекция 10 Потенциальное силовое поле Силовое поле – пространство, в каждой точке которого на материальную точку действуют силы, зависящие от координат точки. Стационарное силовое поле – действующие силы которого не зависят от времени, F = F(x, y,z) (поле силы тяжести, поле силы упругости). Нестационарное силовое поле - действующие силы которого зависят от времени, F = F(x, y,z, t) (электромагнитное поле). 5

4 Потенциальное силовое поле – в котором существует функция, в каждой точке пространства удовлетворяющая соотношениям: где U = U(x, y, z) – силовая функция. Лекция 10 ( продолжение – 10.2 ) Силовая функция определяется с точностью до постоянной: Основные свойства силовой функции: 1. Элементарная работа силы потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции: 2. Полная работа силы потенциального поля не зависит от траектории перемещения точки и равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях: Следствие: Работа силы потенциального поля при перемещении точки по замкнутой траектории равна нулю: x y z Потенциальная энергия системы – функция, характеризующая запас энергии (потенциальной энергии) в данной точке потенциального силового поля. Потенциальная энергия равна работе сил потенциального поля, действующих на материальную точку, при ее перемещении из данного положения в начальное (нулевое). Для системы материальных точек потенциальная энергия равна сумме работ сил потенциального поля на всех перемещениях точек системы в начальное положение. Величина потенциальной энергии в начальном положении принимается равной нулю: П(x 0,y 0,z 0 ) = 0. В произвольной точке потенциальная энергия является функцией координат: П(x,y,z). Тогда по определению: – связь потенциальной энергии с силовой функцией. С учетом: П(x 0,y 0,z 0 ) = 0 соотношение связи можно записать как разность: Поскольку потенциальная энергия также определена с точностью до постоянной, то работа силы потенциального поля на перемещении из точки M 0 в точку M равна: Таким образом, изменение потенциальной энергии равно и обратно по знаку изменению силовой функции. Тогда: и 6

5 Лекция 10 ( продолжение 10.3 ) Примеры потенциальных силовых полей Поле силы тяжести. Сила тяжести, работа которой не зависит от траектории, является примером силы, имеющей потенциал – геометрическое место точек пространства, в которых потенциальная энергия постоянна. Проекции силы тяжести на координатные оси равны: Последнее выражение есть дифференциальное уравнение, которое легко решается разделением переменных и интегрированием левой и правой частей: x y z x y z Эквипотенциальные поверхности (П = const) представляют собой горизонтальные плоскости. Сила тяжести направлена перпендикулярно к этим плоскостям в сторону уменьшения значений потенциальной энергии. Работа силы тяжести на перемещении из точки M 1 в точку M 2 : Поле центральной силы притяжения. Силы тяжести могут считаться параллельными и постоянными по величине только в небольшой области пространства в поле тяготения Земли и эквипотенциальные поверхности могут считаться плоскими только в пределах этой области. В случае рассмотрения силы притяжения к центру величина силы прямо пропорциональна массе и обратно пропорциональна квадрату расстояния между материальной точкой и центром тяготения O: x y z x y z Проекции силы притяжения на координатные оси равны: Элементарная работа силы притяжения: Дифференциал потенциальной энергии: Полученное выражение есть дифференциальное уравнение, которое легко решается интегрированием левой и правой частей: Эквипотенциальные поверхности (П = const) поля центрального тяготения представляют собой сферические поверхности с центром в точке O. Сила притяжения направлена по нормали к этим поверхностям в сторону уменьшения значений потенциальной энергии. O Закон сохранения механической энергии – При движении механической системы в стационарном потенциальном поле полная механическая энергия системы остается постоянной. По теореме об изменении кинетической энергии системы: Отсюда: Сумму кинетической и потенциальной энергий называют полной механической энергией системы. 7