Пифагор и его теорема « Как хорошо, когда благоденствие человека основано на законах разума » Пифагор. - презентация

1

2 Пифагор и его теорема « Как хорошо, когда благоденствие человека основано на законах разума » Пифагор

3 Пифагор не только самый популярный учёный за всю историю человечества, но и самая загадочная личность, человек- символ, философ, пророк. Не алгебраические доказательства теоремы. Применение теоремы в задачах древности. Вопросы, которые надо обсудить

4 Жизнеописание Пифагора Родился на острове Самос в Эгейском море у берегов малой Азии около 570 г. до н.э. Отец- Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя матери неизвестно. Учителя юного Пифагора- старец Гермодаманта и Ферекид Сиросский В детстве увлекался музыкой, поэзией. Из родного дома отправился в Милет (греческую колонию). Там под руководством Фалеса изучает математику и небесную механику. По Совету Фалеса отправляется в Египет. Там он прожил 12 лет.

5 В 526 г. до н.э. В Египет вторглись войска персидского царя Камбиза, и Пифагор вмпесте с другими жрецами попал в плен. Так он оказался в Вавилоне, где и прожил ещё 12 лет. Неудовлетворённость бездоказательностью египетской и вавилонской математики ускорило окончательное решение Пифагора возвратиться на родину. Вернулся на остров Самос, поразил знаниями своих соотечественников и собрал вокруг себя юношей из благородных семей, вёл с ними тайные беседы

6 Поликарт, правитель острова, боясь, что под прикрытием этих бесед против него зреет заговор, приказывает своим людям следить за Пифагором. Возмущённый Пифагор покидает остров навсегда и поселяется в одном из греческих городов Италии- Кротоне В Кротоне Пифагор основал сообщество своих учеников и последователей-пифагорейскую школу

7 Нравственные Принципы пифагорейской школы Беги от всякой хитрости. Отсекай огнём, железом и любым оружием от тела болезнь, от души неввежество, от утробы-роскошь, от города – смуту, от семьи ссору. Не допускай ленивого сна на усталые очи, прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь:»Что я сделал? Что не сделал? И что мне осталось сделать? Начинай день со стихов:»Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, душой раскинь, какие дела тебе день приготовил».

8 Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир увидит её взор; И теорема та, что Пифагор, Верна теперь, как в день её рожденья. За светлый луч с небес вознёс благодаренье Мудрец богам не так, как было до тех пор: Ведь целых сто быков послал он под топор, Чтоб их сожгли, как жертвоприношенье. Быки с тех пор, как только весть услышат, c

9 Что новой истины уже следы видны, Отчаянно мычат и ужасом полны: Им Пифагор навек внушил тревогу. Не в силах преградить той истине дорогу, Они, закрыв глаза дрожат и еле дышат. Альберт фон Шамиссо

10 « Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах." -

11 Простейшее доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах- по два. Теорема доказана

12 Древнекитайское доказательство На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a,b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a +b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. Б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис.в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с 2, а с другой –a 2 +b 2, т.е. С 2 = a 2 +b 2. Теорема доказана.

13 Древнеиндийское доказательство Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика ХІІ в. Бхаскары помещён чертёж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат С 2 перекладывается в «кресло невесты» a 2 -b 2. Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора ( например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII-V вв.до н.э.)

14 На рисунке воспроизведён Чертёж из трактата «Чжоуби…». Здесь теоре- ма Пифагора рассмотрена для египетского треуголь- ника с катетами 3,4 и ги- потенузой 5 единиц изме- рения. Квадрат на гипоте- нузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квад- рат на большем катете-16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

15 Задача индийского учёного Бхаскара Акариа,1114 г. На берегу ручья, ширина ко- торого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте 3 фута от земли Так, что верхний конец его Коснулся другого берега ру- чья (ствол направлен пер- пендикулярно течению). Определить высоту тополя. Решение: 1) АВ 2 =АС 2 +ВС 2,АВ=5, 2) 5+3=8(футов)-высота тополя

16 Задача из старинного китайского трактата. В середине квадратного озера со стороной 10 футов растёт тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вер- шина достигнет берега. Какова глубина озера? Решение: 1)Пусть АВ=х, ВС=5,АС=х+1. 2)Из АВС по теореме Пифагора имеем (х+1) 2 =х 2 +5 Ответ:глубина озера 12 футов.

17 И ещё раз о ней… Теорема Пифагора - важнейшее утверждение геометрии. Да- же те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с матема- тикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора объясня- ется её простотой, красотой, значимостью. Изучение вави- лонских, древнекитайских рукописей показало, что это ут- верждение было известно задолго до Пифагора. Его же заслуга состояла в том, что он доказал эту теорему. Древняя легенда свидетельствует о том, что в честь этого открытия принёс в жертву быка или даже 100 быков. Существует более 100 доказательств теоремы Пифагора. Это объяснялось тем, что в прошлом для получения звания магистра математики зачастую требовалось представление нового доказательства этой теоремы.