MAVZU: ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARGA QO`YILGAN ARALASH MASALANI SONLI YECHISH. - презентация

1 MAVZU: ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARGA QO`YILGAN ARALASH MASALANI SONLI YECHISH

2 REJA: 1.Umumiy samara: almashtirish samarasi va daromad samarasi. 2.Almashtirish samarasini hisoblash, daromad samarasini hisoblash. 3.Almashtirish samarasining ishorasi.

3 Oddiy differensial tenglamalarga qo`yilgan aralash masalani sonli yechishga imkon beradigan metod – bu haydash (progonka) metodi bo`lib hisoblanadi. Qaralayotgan masala ayirmali sxemalar bilan diskretlashtirilganda quyidagi uch diagonalli matritsaga ega bo`lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltiriladi: (3.1)

4 Bu yerda barcha i=1,2,…,N-1 lar uchun. Ushbu sistemani sodda va samarali hisoblash usulini ko`rsatish lozim. Bunda asosiy g`oya ikkinchi tartibli ayirmali tenglamani uchta birinchi tartibli tenglamalarga keltirishdan iborat, umuman olganda ushbu tenglamalar chiziqli bo`lmagan tenglamalardan iborat bo`ladi. Quyidagi almashtirishni o`rinli deb hisoblaymiz. (3.2)

5 Bunda va lar no`malum koeffitsiyentlar. Ifoda (3.2) dan olingan formulani tenglama (3.1) dagi o`rniga qo`yib, ushbu tenglamaga ega bo`lamiz Oxirgi tenglamada munosabat (3.2) dan foydalanamiz:

6 Bu tenglama ixtiyoriy y i lar uchun bajariladi, agarda quyidagi ikkita munosabat o`rinli bo`lsa: Ularning birinchisidan uchun ushbu rekurrent formulaga ega bo`lamiz: (3.3)

7 hamda ikkinchisidan uchun esa quyidagi rekurrent formula hosil bo`ladi (3.4) Bu formulalarni almashtirish (3.2) dan kelib chiqqan holda aniqladik. Agarda koeffitsiyentlar va qiymat malum bo`lsa, u holda o`ngdan chapga tomon harakatlanib (i+1 dan i ga) barcha larni ketma-ket aniqlaymiz

8 Parametrlar uchun tenglamalar chiziqli emas, ular funksiyalarning ikkita qo`shni tugunlardagi qiymatlarini o`zaro bog`laydi. Parametrlar lar uchun masala chapdan o`ngga tomon, uchun esa qarama-qarshi tomonga qarab yechiladi. Har bir funksiyalar uchun Koshi masalasini yechish lozim. Bu funksiyalar uchun boshlang`ich qiymatlarni topish uchun (3.1) dagi chegaraviy shartlardan foydalanamiz.

9 Formula (3.2) indekslarning i = 0,1,2,...,N -1 qiymatlarida o`rinli bo`lganligi uchun, i=0 da quyidagi tenglamaga ega bo`lamiz boshqa tomondan (3.1) ga asosan ekanligi malum. Shu sababli, ularni tenglashtirib (3.5) (3.6) munosabatlarni aniqlaymiz.

10 Shunday qilib, va funksiyalar uchun Koshi masalasiga ega bo`lamiz: uchun bu (3.3), (3.5) masala, uchun esa (3.4), (3.6) masala (to`g`ri progonka metodi). Barcha i=1,2,...,N lar uchun va funksiyalar aniqlangandan keyin chegaraviy qiymat ni topish zarur. U quyidagi tenglamalar sistemasini birgalikda yechish orqali topiladi

11 Bunda Yoki Agarda bo`lsa, uchun ushbu formulani hosil qilamiz: (3.7)

12 Shunday qilib, ni aniqlash uchun Koshi masalasi (3.2), (3.7) ga ega bo`lamiz (teskari progonka metodi). Bayon qilingan metod progonka metodi deb ataladi (o`ng progonka metodi). O`ng progonka metodining barcha formulalarini yig`ib, ularni qo`llanishga qulay ko`rinishda yozamiz:

13 Harflar ustidagi strelka belgisi hisoblash yo`nalishini ko`rsatadi: dan (i+1) ga tomon, dan i ga tomon. Shunday qilib, almashtirish (3.2) ning samarasi natijasida ikkinchi tartibli ayirmali tenglama uchta birinchi tartibli sodda tenglamaga keltirildi. Endi progonka metodining daromad samarasini qaraymiz. Yuqorida metodning formulalarini formal ravishda chiqardik. Keltirilgan formulalarning maxrajida va ifodalar mavjud, ularga bo`lish qachon mumkin bo`ladi, ular qachon noldan farqli bo`ladi.

14 Formulalar (3.3), (3.4) va (3.7) manoga ega bo`lishligining yetarlilik shartini ko`rsatamiz. Quyidagi shartlar bajarilganda progonka metodining formulalari manoga ega bo`ladi: (3.8) Shartlar (3.8) bajarilganda barcha i =1,2,...,N lar uchun ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun deb faraz qilib, bo`lishini ko`rsatamiz;

15 Chunki va bundan, barcha i=1,2,...,N lar uchun bo`lishi kelib chiqadi. uchun yozilgan ifodaning maxraji absolyut miqdori bo`yicha, uning suratining absolyut miqdoridan katta ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun quyidagi ayirmani qaraymiz Ushbu tengsizlikdan bo`lganligi uchun bo`ladi, yani

16 Bundan ko`rinadiki, bo`ladi, agar bo`lsa; barcha bo`ladi, bo`lganda. Formula (3.7) ning maxrajini quyidan baholaymiz: chunki, shartlar (3.8) ga asosan yoki bo`ladi, yani Shunday qilib, formulalar (3.3), (3.4) va (3.7) ning maxrajlari, shartlar (3.8) bajarilganda noldan farqli bo`ladi.

17 Takidlash lozimki, agarda biror-bir nuqtada bo`lsa, u holda bo`ladi, barcha lar uchun, shu jumladan i = N uchun ham:. Bu holda shart ortiqcha bo`lib qoladi, chunki, va da bo`ladi. Shunday qilib, shartlar (3.8) bajarilganda masala (3.1) formulalar (3.2)-(3.7) bilan aniqlanadigan yagona yechimga ega.

18 Agar tenglama (3.1) Gauss metodi bilan yechilsa, bunda O arifmetik amallar sarflanadi, bunda N formula (3.1) dagi tenglamalar soni. Endi progonka metodida kiritilgan almashtirish (3.2) ning samarasi tufayli olingan hisoblash formulalarining samarasini hisoblaymiz:

19 ni hisoblashda, P 1 ni etiborga olgan holda taxminan ~ 3N ta arifmetik amal talab qilinadi (bitta ayirish, bitta ko`paytirish va bitta bo`lish, ular i ning har bir qiymatida bajariladi), ni hisoblash uchun ham ~ 3N arifmetik amal talab qilinadi (bitta ko`paytirish, bitta qo`shish, bitta bo`lish, ular i ning har bir qiymatida bajariladi), Y N uchun formula i dan bog`liq emas, shu sababli u bir marta hisoblanadi, uni inobatga olmaslik

20 Mumkin y 1 ni hisoblashda ~ 2N arifmetik amal talab qilinadi (bitta ko`paytirish, bitta bo`lish, ular i ning har bir qiymatida bajariladi). Shunday qilib, ni hisoblash uchun ~ 3N ta, ni hisoblash uchun ~3N ta va ni hisoblash uchun ~ 2N ta arifmetik amal, hammasi bo`lib progonka metodini qo`llash natijasida 3N+3N+2N=8N arifmetik amal talab qilinadi, bu amallar soni Gauss metodidagi arifmetik amallar soni o

21 ga nisbatan juda kichik bo`ladi. Endi progonka metodining daromad samarasini hisoblaymiz. Metodning formulalarini qo`llab kompyuterda hisoblashlar olib borish taqribiy, chekli qiymatga ega bo`lgan raqamlar bilan olib boriladi. Yaxlitlash xatoliklari tufayli masala (3.1) ning yechimi emas, balki aynan shu masalaning o`zgarmas koeffitsiyentlar va o`zgargan o`ng tomon bilan olingan yechimi topiladi.

22 Shunday tabiiy savol tug`iladi: hisoblashlar jarayoni mobaynida yaxlitlashlar xatoliklari ortib ketib, aniqlikning yo`qolishiga olib kelmaydimi, hamda olinadigan miqdorlardagi xatoliklarning o`sishi evaziga kelgusida hisoblashlarni olib borish mumkin bo`lmay qolmaydimi? Ushbu savolni aniqlashtirishni misolda ko`rib o`tamiz. To`r funksiyasi formula bo`yicha q >1 da aniqlaylik. Ushbu formuladan ketma-ket foydalanish natijasida

23 formulaga ega bo`lamiz. Ixtiyoriy Y 0 uchun, shunday n 0 ni ko`rsatish mumkinki, unda mashinaviy cheksizlikka aylanadi, yani ni aniqlashda kompyuterda avost (avariyali to`xtash) sodir bo`ladi. Bu holda, yaxlitlash xatoliklari evaziga Y i emas, balki quyidagi tenglamadan aniqlangan

24 Tor funksiyasi hisoblanadi. bu yerda – yaxlitlash xatoligi. Bundan kelib chiqadiki, xatolik uchun ushbu tenglamaga ega bo`lamiz Ushbu formuladan ketma-ket foydalanib

25 formulani hosil qilamiz. Bu formuladan ko`rinadiki, xatolik bo`lganda i ning o`sishi bilan eksponensial ravishda o`sadi. Endi progonka metodiga qaytamiz va shart bajarilganda ni topishda yo`l qo`yilgan ni hisoblashda ortib ketmaydi. Haqiqatan ham, ushbu tenglamalardan

26 ularning ikkinchisidan birinchisini ayirish orqali quyidagi tenglamaga kelamiz Yani bo`ladi, chunki

27 Agarda hisoblash jarayonida koeffitsiyentlar ham xatolik bilan hisoblanishini etiborga olsak, ko`rsatish mumkinki, masala (3.1) dan y i ni topish xatoligi to`r tugunlari sonining kvadratiga proporsional bo`lar ekan bu yerda –yaxlitlash xatoligi. Bundan ko`rinadiki, masalaning yechimini topish aniqligi va tenglamalar soni N hamda kompyuterda ahamiyatli raqamlar soni o`rtasida bog`liqlik mavjud

28 Yuqorida o`ng progonka metodini ko`rib o`tdik. Almashtirish samarasi ishorasini etiborga olgan holda chap progonka metodi va qarama-qarshi progonka metodidan ayirmali masala (3.1) ni yechishda foydalanish mumkin. Chap progonka metodining algoritmi quyidagi ko`rinishga ega: (3.9) (3.10)

29 Haqiqatan ham munosabat o`rinli deb hisoblab, ayirmali tenglama (3.1) dan ketma-ket

30 larni yo`qotib, quyidagi tenglamaga kelamiz: Oxirgi tenglama ixtiyoriy Y i larda qanoatlantirilishi uchun ushbu tengliklar bajarilishi lozim Bundan formulalar (3.10), (3.11) ni hosil qilamiz. Y 0 ning qiyamtini

31 formulalardan aniqlaymiz, yani o`z navbatida, Y 0 uchun ushbu formulani hosil qilamiz

32 Quyidagi tengsizliklardan ko`rinadiki, shartlar (3.8) chap progonka metodi formulalarining qo`llanishi va hisoblash turg`unligini kafolatlaydi. Chap va o`ng progonka metodini birlashtirib, qarama-qarshi progonka metodiga ega bo`lamiz.

33 Faraz qilaylik to`rning biror-bir ichki tuguni bo`lsin. Bu holda sohada formulalar (3.2)-(3.7) bo`yicha progonka koeffitsiyentlari, lar hisoblanadi:

34 So`ngra i = i 0 nuqtada (3.2) va (3.9) formasidagi yechimlarni birlashtiramiz Bundan ning qiymatini ga qo`yib, ushbu formulaga ega bo`lamiz Bu formula manoga ega bo`ladi, chunki,

35 bajariladi, bunga sabab, ushbu miqdorlardan hech bo`lmaganda bittasi, (3.8) shartlarga asosan birdan kichik bo`ladi. Qiymat Y 0 ni bilgan holda barcha Y i larni i i 0 da aniqlanadi. Qarama-qarshi progonga metodi bazan Y i ning qiymatini faqat bitta i = i 0 tugunda hisoblashda foydali bo`lib hisoblanadi.