Монотонность функций. Исследование функций на монотонность. - презентация

1 Материал по теме «Монотонность функций» подготовлен учениками 9 класса подготовлен учениками 9 класса Исследование функций на монотонность.

2 План показа: Введение. Введение. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. Выводы. Выводы.

3 Введение. Введение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Н.И. Лобачевский Н.И. Лобачевский Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: функция - уравнения – преобразования. функция - уравнения – преобразования. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству.

4 1.Определения возрастающей и убывающей функций. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ). Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1 f (x 2 ). Термины «возрастающая функция» и «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция.

5 3. Алгоритм исследования функции на монотонность. 1. Найти область определения функции y = f(x): множество X D(f). 2. Выбрать произвольные значения аргумента x 1 и x 2 множества X такие, что x 1 < x Найти значения функции f (x 1 ) и f (x 2 ). 4. Если из x 1 f (x 2 ), то заданная функция убывает на D(f).

6 4. Примеры исследования функций на монотонность. Исследовать на монотонность функцию: Исследовать на монотонность функцию: 1. y = 2 - 5x; 1. y = 2 - 5x; 2. y = x 3 +4; 2. y = x 3 +4; 3. y = x 3 +2x 2 ; 3. y = x 3 +2x 2 ; 4. y = - 3x 3 - x; 4. y = - 3x 3 - x; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 6. y = - x 3 - x 0,5. 6. y = - x 3 - x 0,5.

7 1. y = 2 – 5x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = 2 – 5x: D(y)= (- ; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Найдем значения функции f (x 1 )= 2 – 5 x 1 и f (x 2 )= 2 – 5 x По свойствам числовых неравенств имеем: – x 1 > – x 2 ; 2 – 5 x 1 > 2 – 5 x Итак, из x 1 f (x 2 ), то заданная функция убывает на D(y).

8 2. y = x y = x Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x : D(y)= (- ; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Найдем значения функции f (x 1 ) = x и f (x 2 ) = x По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 3 < x 2 3 ; x < x Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), то заданная функция возрастает на D(y).

9 3. y = x 3 +2x 2. Решение. Решение. Область определения функции y = x 3 + 2x 2 : D(y)= (- ; + ). Область определения функции y = x 3 + 2x 2 : D(y)= (- ; + ). Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. Найдем значения функции f (x 1 ) = x x 1 2 и f (x 2 ) = x x 2 2. Найдем значения функции f (x 1 ) = x x 1 2 и f (x 2 ) = x x 2 2. По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 3 < x 2 3 ; x x 1 2 < x По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 3 < x 2 3 ; x x 1 2 < x Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), то заданная функция возрастает на D(y). Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), то заданная функция возрастает на D(y).

10 4. y = – 3x 3 – x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – 3x 3 – x : D(y)= (- ; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Вычислим значения функции f (x 1 )= – 3x 1 3 – x 1 и f (x 2 )= – 3x 2 3 – x По свойствам числовых неравенств имеем: – x 1 3 > – x 2 3 ; – x 1 (3x ) > – x 2 (3x ); – 3x 1 3 – x 1 > – 3x 2 3 – x Итак, из x 1 f (x 2 ), то заданная функция убывает на D(y).

11 5. y = x 0,5 +x 5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x 0,5 +x 5 : D(y)= [ 0 ; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Найдем значения функции f (x 1 ) = x 1 0,5 +x 1 5 и f (x 2 ) = x 2 0,5 +x По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 0,5 < x 2 0,5 ; x 1 5 < x 2 5 ; x 1 0,5 + x 1 5 < x 2 0,5 + x Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), то заданная функция возрастает на D(y).

12 6. y = - x 3 - x 0,5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – x 3 – x 0,5 : D(y)= [ 0; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Вычислим значения функции f (x 1 )= – x 1 3 – x 1 0,5 и f (x 2 )= – x 2 3 – x 2 0,5. 4. По свойствам числовых неравенств имеем: – x 1 3 > – x 2 3 ; – x 1 0,5 > – x 2 0,5 ; –x 1 0,5 (x 1 2,5 + 1) > – x 2 (x 2 2,5 +1); – x 1 3 – x 1 0,5 > – x 2 3 – x 2 0,5. 5. Итак, из x 1 f (x 2 ), то заданная функция убывает на D(y).

13 Выводы. Выводы. Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Д.Пойа Д.Пойа