Тема: Натуральные числа Выполнила: Келдибек кызы Каршыгγл. - презентация

1 Тема: Натуральные числа Выполнила: Келдибек кызы Каршыгγл

2 ? ?

3 История возникновения натуральных чисел История возникновения натуральных чисел берет свое начало еще с первобытного общества. Тогда, конечно, оно возникло в самом простейшем виде, но вместе с человечеством развивались и числа. Изначально они использовались только для того, чтобы что-то подсчитать, измерить, т.е. помогали именно в том, что было нужно в практической деятельности людей. Потом число становится частью математики, и история возникновения и развития натуральных чисел обуславливается уже наукой.

4 В самые древние время люди считали на пальцах, то есть понятия число, в котором мы привыкли его понимать, у них не было. С развитием письменности, развивалось и расширялось понятие числа. Сначала это были черточки, затем были введены другие обозначения, для обозначения больших чисел. До нас дошли вавилонские клинописные таблички с первыми обозначениями натуральных чисел. Сохранившиеся до наших дней «римские цифры» тоже берут свое начало в древности. Огромным прорывом стала индийская позиционная система исчисления, которая позволила записывать числа, используя десять знаков цифр. Греческие философы Пифагор и Архимед тоже внесли свой вклад в историю возникновения чисел. Впервые, в 3 веке до нашей эры, они обосновали понятие бесконечности натурального числа.

5

6 Натуральные числа одно из старейших математических понятий. В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас. Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке». Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством их количество равно пяти.

7 - числа, используемые при обозначении количества предметов: 0, 1, 2, … (нет предметов, один предмет, два предмета и т. д.). Это определение было популяризовано в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Натуральные число

8 Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер.

9 Что такое натуральные числа? Натуральные числа это числа, используемые для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.. Мы пользуемся ими в повседневной жизни для счета предметов, то есть для определения их количества и порядка. Натуральные числа в общем виде обозначаются большой латинской буквой N. N={1,2,3,…..n….}

10 Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками число 2, тремя число 3. | 1, || 2, ||| 3, ||||| 5 … Затем появились и особые знаки для обозначения чисел предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами. Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.

11 Какие свойства у натуральных чисел? В конце XIX века итальянским математиком Д. Пеано были сформулированы свойства следования натуральных чисел: 1 это первое натуральное число, перед ним нет других натуральных чисел. То есть единица не следует ни за каким другим натуральным числом. За каждым натуральным числом следует другое натуральное число. Причем только одно. Из этого следует, что каждое натуральное число, кроме 1, следует за другим. Подмножество натуральных чисел, начинающееся с 1, после которой друг за другом следуют натуральные числа, содержит все натуральные числа.

12 Ноль как натуральное число Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом { {N} } {N} образует моноид.

13 Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге Рассела) Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество. Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам: 0=О; S(n)=n {n} Числа, заданные таким образом, называются ординальными. Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел: ;

14 В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует. Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной. Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

15 Класс миллиардов Если взять десять сотен миллионов, то получим новую разрядную единицу один миллиард или в записи цифрами миллионов= = 1 млрд Десять таких единиц десять миллиардов, десять десятков миллиардов образуют следующую единицу сто миллиардов.

16 Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих миллиардов = = 1 триллион («три» по латыни «три») триллионов = = 1 квадриллион («квадра» по латыни «четыре») квадриллионов = = 1 квинтиллион («квинта» по латыни «пять»)

17 Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее, но очень большие числа в повседневной жизни не нужны. Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной. Это число получило специальное название гугол. Гугол число, у которого 100 нулей.

18 C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надо слева на право по очереди называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса. Название класса единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три цифры в его разрядах нули. Любое натуральное число можно записать в виде разрядных слагаемых.разрядных слагаемых Числа 1, 10, 100, 1000 … называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число будет выглядеть в виде разрядных слагаемых =

19 Название класса Миллиарды МиллионыТысячи Единицы Цифра (символ) Разряды и классы натурального числа Рассмотрим натуральное число Называние разряда Сотни миллиардов Десятки миллиардов миллиарды Сотни миллионов Десятки миллионов миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч тысячи сотни десятки Единицы

20 Прочитайте число: единицытысячи миллион млрд.триллион

21 Прочитайте число: квинтиллион 952 квадратиллион 12 триллион 40 млярд. 419 млн. 972 тысяч. 18

22 Аксиомы Пеано Аксио́мы Пеа́но одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано. Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

23 Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

24 1 является натуральным числом; Число, следующее за натуральным, также является натуральным; 1 не следует ни за каким натуральным числом; Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны; (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

25

26 0(ноль)-? 0 (ноль, нуль от лат. nullus никакой целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее, то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль. Нуль играет исключительно важную роль в математике и физике

27 Впервые появился в Индии, где именовался санскритским словом «санья» («пустота»; «отсутствие»), и широко использовался в поэзии и священных текстах. Через арабов, называвших его «цифр» (отсюда слова «цифра» и лат. zero, ноль), попал в Западную Европу. Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля, начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя- шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не означал «число 0». Хотя в их системе счисления 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали для обозначения нуля иероглиф («прекрасный»). Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки). История использования нуля

28 В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. ο δέν ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление нуля, однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка. В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера. Исследования показали, что манускрипт Бакхшали содержит, вероятно, самое древнее упоминание ноля.

29 Основные свойства нуля 0 целое число. Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: 0/2=0. На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа. Любое число при сложении и вычитании с нулём не меняется: a+0=0+a=a. Умножение любого числа на ноль даёт ноль: A* 0=0. При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль: 0/a=0 при a=0.

30 Операции над натуральными числами К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции: сложение: слагаемое + слагаемое = сумма; умножение: множитель × множитель = произведение; возведение в степень: a^{b} a^{b}, где a основание степени, b показатель степени. Если a и b натуральные числа, то и результат будет натуральным числом. Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)): вычитание: уменьшаемое вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом); деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p* (b+r), причём 0<= r

31 Знаки Плюс (лат. plus «больше» сравнительная степень от лат. multum «много») графический символ операции сложения, а также символ положительного числа (+). Самой ранней книгой, в которой использовался символ «+», считается коммерческий трактат 1489 года Иоганна Видмана, где символ употребляется в смысле признака увеличения. В первой половине XVI века символ уже как обозначение сложения встречается в книгах Генриха Грамматеуса и его ученика Кристофа Рудольфа. Франсуа Виет ( ), создатель символического языка алгебры, систематически для сложения применял знак «+», притом происхождение этой нотации у Виета связывается с мальтийским крестом.

32

33 Знак умножения (×) математический знак операции умножения. Знак умножения изображают как крестик (×), точку ( ) или звёздочку ( ). Самый старый из используемых символов крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» (1631, Лондон). Немецкий математик Лейбниц отрицательно относился к крестику из-за его схожести с буквой X и предпочитал точку ( ). Этот символ он использовал в письме 1698 года. Зачастую неверно вместо знака умножения (×) применяют букву X. Йоханн Ран ввёл звёздочку ( ) в качестве знака умножения. Вместе с символом для деления (÷) она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г. В таксономии знак умножения используется в качестве знака гибридного происхождения.

34 Знак деления математический символ в виде двоеточия ( ), обелюса (÷) или косой черты (), используемый для обозначения оператора деления. В большинстве стран используют двоеточие ( ), в англоязычных странах и на клавишах микрокалькуляторов символ (÷). В связи с большими неудобствами и даже невозможностью введения полноценных дробей в компьютер во времена операционных систем без GUI использовали упрощенные знаки для формул, в т.ч. для знака деления - использовали значок косой черты ().

35 История символа Самый старый знак деления скорее всего знак (). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде Clavis Mathematicae (1631, Лондон). Немецкий математик Лейбниц предпочитал двоеточие ( ). Этот символ он использовал впервые в 1684 году в своём труде Acta eruditorum. До Лейбница этот знак был использован англичанином Джонсоном в 1633 году в одной книге, но как знак дроби, а не деления в узком смысле. Немецкий математик Йоханн Ран ввёл для обозначения деления знак (÷). Вместе со знаком умножения в виде звёздочки ( ) он появился в его книге «Teutsche Algebra» в 1659 году. Из-за распространения в Англии знак Рана часто называют «английским знаком деления», но корни его лежат в Германии.

36 Уильям Отред (англ. William Oughtred, 5 марта июня 1660) английский математик. В старых русских источниках может называться Вильям Отред или Вильям Оутред. Известен как изобретатель логарифмической линейки (1622 год) и один из создателей современной математической символики. Его заочными учениками были Кристофер Рен и Джон Валлис. Труды Отреда оказали значительное влияние на развитие алгебры

37 Иога́нн Ран (нем. Johann Heinrich Rahn, лат. Rhonius; 10 марта 1622, Цюрих 27 мая 1676) швейцарский математик, который ввёл знак ÷ (обелюс) для деления. Вместе со знаком умножения он появился в его книге «Teutsche Algebra» 1659 года. Родился в семье Ганса Рана ( ), в годах бывшего мэром Цюриха, и Урсулы Эшер ( ). Иоганн Ран также занимал несколько постов в администрации Цюриха. В 1654 году в Цюрих прибыл Джон Пелль, и Ран был его учеником до получения должности главы Кибурга в 1658 году. В 1659 году Ран опубликовал Teutsche Algebra первую работу на немецком языке, описывающую алгебраические методы Франсуа Виета и Рене Декарта. В 1668 году Томас Брэнкер опубликовал её английский перевод, в работе над этим изданием принимал участие Джон Пелль. Ран опубликовал также работу, посвящённую задачам Диофанта, и две работы по оптике, не дошедшие до наших дней.

38 a + b = b + a - переместительное свойство сложения (a + b) + c = a + (b +c) - сочетательное свойство сложения ab = ba - переместительное свойство умножения (ab)c = a(bc) - сочетательное свойство умножения a(b + c) = ab + ac - распределительное свойство умножения относительно сложения Операция над натуральными числами