Глава 11 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1 Многомерное пространство. Понятие функции нескольких переменных 1. - презентация

1 Глава 11 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1 Многомерное пространство. Понятие функции нескольких переменных 1

2 Определение 1 Множество всех упорядоченных наборов где - действительные числа называется n-мерным арифметическим точечным пространством и обозначается, а его элементы – точками пространства. Числа называются координатами точки. 2 V. Khudenko

3 Определение 2 Расстоянием между двумя точками и n – мерного пространства называется число 3 V. Khudenko

4 Арифметическое n- мерное пространство, на котором задано расстояние между двумя точками называется метрическим пространством. 4 V. Khudenko

5 Определение 3 Множество точек, расстояние от каждой из которых до фиксированной точки не превосходит некоторого положительного числа r: называют n-мерным замкнутым шаром с центром в точке 5 V. Khudenko

6 Примеры для начальных размерностей: 6 V. Khudenko

7 7

8 8

9 Определение 4 Открытым шаром с центром в точке называется множество точек Р пространства, расстояние от каждой из которых до точки меньше r 9 V. Khudenko

10 Определение 5 Множество точек, удовлетворяющих условию называется n-мерной сферой радиуса r и с центром в точке P 0 10 V. Khudenko

11 Определение 6 Окрестностью радиуса δ (δ-окрестностью) точки Р 0 называется открытый шар с центром в точкеР 0 и радиуса δ 11 V. Khudenko

12 Определение 7 Проколотой окрестностью точки Р 0 радиуса r, обозначаемой называется множество точек Р, удовлетворяющих неравенству : 12 V. Khudenko

13 13 Пусть D R n - произвольное множество точек арифметического пространства R n. Если правило f (закон) каждой точке ставит в соответствие единственное действительное число, то говорят, что на множестве задана числовая функция (или отображение f от n переменных и пишут : Множество D называется областью определения, V. Khudenko

14 14 а множество множеством значений функции V. Khudenko

15 15 В частном случае, при n=2 функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точек плоскости. Частное значение функции при x=x 0 и y=y 0 будем обозначать,, Функция двух переменных может быть задана: аналитически; графическим способом (графиком функции является множество табличным (для функции двух переменных таблица с двумя входами). V. Khudenko

16 animation 16

17 17 Функция двух переменных изображается как множество точек, которое представляет из себя поверхность. Проекцией поверхности на плоскость ОХY является область D(f). 1. Примеры: 2. V. Khudenko

18 18 V. Khudenko

19 19 V. Khudenko

20 §2 Понятие предела функции нескольких переменных последовательность точек сходится к точке Р 0, если в любой её окрестности лежат все точки последовательности, начиная с некоторого номера N, иначе говоря, 20 V. Khudenko

21 Определение 1 Число z 0 называется пределом функции z=f(x,y) в точке, если для любой сходящейся к ней последовательности точек соответствующая последовательность значений функции сходится к z 0 21 V. Khudenko

22 22

23 Замечание Определением предела функции по Гейне удобно пользоваться в случае, когда надо доказать, что предела функции в точке не существует. 23 V. Khudenko

24 Пример: Доказать, что не существует предела функции в точке О(0;0). Воспользуемся двумя последовательностями точек: 24 V. Khudenko

25 Тогда соответственно получим: Таким образом, двум последовательностям, сходящимся к началу координат ( следовательно, имеющим один и тот же предел), соответствуют две последовательности функций имеющие разные пределы. 25 V. Khudenko

26 Определение Число z 0 называется пределом функции при,, т.е. в точке, если для любого существует число r>0, такое, что для любой точки P(x;y) выполняется неравенство 26 V. Khudenko

27 Определение Число z 0 называется пределом функции z=f(x,y) при,x x 0,y y 0 т.е. в точке (x 0,у 0 ), если для любого существует число >0, такое, что для любой точки P(x;y)из выколотой окрестности точки (x 0,у 0 ), выполняется неравенство 27 V. Khudenko

28 28 V. Khudenko

29 29

30 30 Понятие предела можно обобщить на случай нескольких переменных: Определение 4.3. Пусть функция определена в Тогда число u 0 называется пределом функции при P P 0 если для любого ε>0 существует r(ε)>0, такое что для любой точки выполняется неравенство V. Khudenko

31 § 3 Непрерывность функции нескольких переменных Определение Функция называется непрерывной в точке если выполнены следующие три условия: 1.f(P)определена в точке P 0 и некоторой ее окрестности; 2. существует V. Khudenko

32 Если в точке P 0 одно из указанных условий не выполняется, то она является точкой разрыва функции u=f(P). Для функции двух переменных z=f(x,y) точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линию разрыва. Для функции трех переменных u=f(x,y,z) точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линию или поверхность разрыва. 32 V. Khudenko

33 Исследовать функции на разрыв V. Khudenko

34 Теорема 1 Если функция z=f(P) непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве, то она ограничена на нем и достигает в некоторых точках и этого множества своих точных верхней и нижней граней 34 V. Khudenko

35 35 V. Khudenko

36 36

37 Теорема 2 Если функция z=f( P) непрерывна на замкнутом связном, ограниченном множестве D, то она принимает на нем все промежуточные значения. 37 V. Khudenko

38 38

39 39 V. Khudenko

40 Теорема 3 Если функция z=f(P) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D, то она равномерно-непрерывна на этом множестве, т.е. для любого ε>0 существует, r>0 такое что для любых двух точек P 1 и P 2 множества D, находящихся на расстоянии, меньшем r, выполняется неравенство 40 V. Khudenko