Планирование эксперимента. Основные определения Под экспериментом понимают совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения. - презентация

1 Планирование эксперимента

2 Основные определения Под экспериментом понимают совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент. Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент.

3 Основные определения Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение. Опыт – это отдельная экспериментальная часть. План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

4 Основные определения Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны (выбор оптимального компонента смесей, повышение производительности действующих установок, повышение качества продукции и т.д.). Цель планирования эксперимента –при нахождение таких условий и правил проведения опытов которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

5 При планировании эксперимента исследуемый объект представляется «черным ящиком», на который воздействуют факторы x. Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования (параметры оптимизации). Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы такого воздействия мы называем факторами. Их также называют входами «черного ящика».

6 Факторы должны быть совместимыми и независимыми. Совместимость предполагает допустимость любой комбинации факторов, а независимость - отсутствие между факторами корреляционной связи. К исследуемым параметрам предъявляют ряд требований. Они должны быть: Управляемыми: экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта; Операциональными: необходимо указывать последовательность действий, с помощью которых устанавливаются конкретные значения; Точными: степень точности определяется диапазоном изменения факторов; Однозначными: должны быть непосредственными воздействиями на объект.

7 Принятие решений перед планированием эксперимента При выборе области эксперимента прежде всего надо оценить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов. Первый тип – принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Второй тип – ограничения, связанные с технико – экономическими соображениями. Третий тип – определяется конкретными условиями проведения процесса. Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям информацию, содержащуюся в результатах предыдущих исследований называют априорной (т.е. полученной до начала эксперимента). Выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации.

8 Выбор основного уровня Наилучшими условиями, определенными из анализа априорной информации, соответствует комбинация уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Ее называют основным (нулевым) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

9 Выбор интервалов варьирования Требуется исследовать влияние легирующих элементов (Cr – хрома, Nb – ниобия, W – вольфрама) на предел прочности литейного сплава ЖС6К. Номинальное содержание элементов: Cr=8,0%, Nb=1%, W=7,0%. Поставим ПФЭ при трех сериях опытов в точках: Cr=8,0±1,5%, Nb=1±1%, W=7,0±1,5%. Для стандартизации масштабов факторов условия проведения опыта сведем в таблицу Характеристика плана z 1(Nb) z 2(W) z 3(Cr) Нулевой уровень 1%7,0%7,0%8,0%8,0% Интервал варьирования 1%1,5% Верхний уровень 2%8,5%9,5% Нижний уровень 0%5,5%6,5%

10 План проведения экспериментов записывается в виде матрицы планирования, в которой в определенном порядке перечисляются различные комбинации факторов на двух уровнях. Например, в таблице приведена матрица планирования ПФЭ 2 для трех факторов: x1, x2, x3. Знак «+» говорит о том, что во время опыта значение фактора устанавливают на верхнем уровне, а знак «-» показывает, что значение фактора устанавливают на нижнем уровне. эксперимента Факторы ВзаимодействияРезультаты опытов x 1(Nb) x 2(W) x 3(Cr) х 1 х 2 х 1 х 2 x1x3x1x3 x2x3x2x3 x1x2x3x1x2x3 y1y1 y2y2 y3y

11 При проведении экспериментов получают значения исследуемой величины y для каждого опыта (или серии опытов). Затем переходят к построению математической модели. Под моделью понимается вид функции y = f(x1, x2,...,xk), которая связывает изучаемый параметр со значениями факторов, лежащих в интервале между верхним и нижним уровнями. Эту функцию называют уравнением регрессии. По накопленному разными исследователями опыту работы с различными моделями можно считать, что самыми простыми моделями являются алгебраические полиномы.

12 Работу выполняем в следующем порядке: кодируем переменные; достраиваем матрицу планирования в кодированных переменных с учетом парных взаимодействий и дополняем столбцом средних значений отклика; вычисляем коэффициенты уравнения регрессии; проверяем вычисленные коэффициенты на значимость, предварительно определив дисперсию воспроизводимости, и получаем уравнение регрессии в кодированных переменных проверяем полученное уравнение на адекватность; проводим интерпретацию полученной модели; выписываем уравнение регрессии в натуральных переменных оптимизация параметров.

13 Для каждого фактора находим центр, интервал варьирования и зависимость кодированной переменной xi от натуральной zi по формулам. Оформляем результаты в таблице Характеристика плана z 1(Nb) z 2(W) z 3(Cr) Нулевой уровень 1%7,0%7,0%8,0%8,0% Интервал варьирования 1%1,5% Верхний уровень 2%8,5%9,5% Нижний уровень 0%5,5%6,5% Зависимость кодированной переменной от натуральной

14 Рассчитываем средние выборочные результатов для каждого эксперимента. Строим матрицу планирования с учетом всех взаимодействий и средних значений отклика эксперимента Факторы ВзаимодействияРезультаты опытов x 1(Nb) x 2(W) x 3(Cr) х 1 х 2 х 1 х 2 x1x3x1x3 x2x3x2x3 x1x2x3x1x2x3 y1y1 y2y2 y3y3 yср

15 Обычно проводят несколько серий опытов для каждого эксперимента. Это необходимо для проверки уравнения на адекватность. Адекватность - это способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью. Результаты опытов в каждом j-ом эксперименте (j=1,..., n) записывают в правые столбцы матрицы планирования. В последнем столбце записывают средние выборочные значения полученных результатов для каждой серии опытов (см. таблицу 2). Если каждый эксперимент повторяли m раз, то в матрице будет записано m столбцов y1, y2,..., ym. Если обозначить за yji значение результата, полученного в i-ом опыте (i=1,...,m) для j-ого эксперимента (j=1,...,n), то выборочное среднее для каждого эксперимента вычисляют по известной формуле:

16 Дисперсия воспроизводимости S2{y} характеризует ошибку всего эксперимента. В случае равномерного дублирования опытов (т.е. при одинаковом числе наблюдений в каждом эксперименте) для расчета S2{y} используют формулу: где n - число экспериментов (число строк в матрице ПФЭ); m - число опытов (наблюдений) в каждом эксперименте; yji - результат отдельного i-го наблюдения в j-ом эксперименте; - среднее выборочное значение наблюдений для j-ого экспе­римента, которое определяется по формуле.

17 Оптимизация параметров Оптимизация – процесс поиска максимума или минимума (поиск наилучшего значения параметра). Оптимизация бывает двух типов: 1) оптимизация параметров, в процессе которой ищут такие значения параметров, при которых целевая функция имеет экстремальное значение при заданной структуре; 2)оптимизация структуры, когда ищется структура системы, при которой целевая функция имеет максимальное значение (функциональное преобразование при заданных параметрах)

18 Расчеты (мысленные эксперименты) используются только для сокращения объема эксперимента. Параллельно с мысленными опытами проводится эксперимент, но он проводится не в каждой точке, и производится сравнение yрасч и yэксп. Когда это расхождение становится значительным, то переходят к проведению эксперимента.