Перпендикулярность прямых и плоскостей. Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. - презентация

1 Перпендикулярность прямых и плоскостей

2 Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 о а b с а bc b α

3 Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. A C a α M b c Дано: а || b, a c Доказать: b c

4 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости α а а α

5 Теорема 1 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. α х Дано: а || а 1 ; a α Доказать: а 1 α a а 1 а 1

6 Теорема 2 α Доказать: а || b a Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Дано: а α; b α b

7 Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. α q Доказать: а α a p m O Дано: а p; a q p α; q α p q = O

8 Теорема 4 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. α М с Доказать: 1) с, с α, М с; 2) с – ! Дано: α; М α

9 Перпендикуляр и наклонные М А В Н α МН α А α В α МА и МВ – наклонные Н α АН и ВН – проекции наклонных МН – перпендикуляр М α

10 Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной. А НМ α а Дано: а α, АН α, АМ – наклонная, а НМ, М а Доказать: а АМ

11 Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А НМ α а Дано: а α, АН α, АМ – наклонная, а АМ, М а Доказать: а НМ

12 Угол между прямой и плоскостью А Н α β а О φ (а ; α) = АОН = φ

13 Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0.

14 Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, плоскости стены и потолка. плоскости стены и потолка.

15 Признак перпендикулярности двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. АВСD

16 Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей. a

17 Задача 1 Найти: MD А В D M Решение: Дано: ABC; MB BC; MB BA; MB = BD = 6 см Доказать: МB BD C 6 см

18 Задача 2 Доказать: OМ (ABC) Дано: ABCD - параллелограмм; AC BD = O; М (ABC); МА = МС, MB = MD АВ D C O М Доказательство:

19 Задача 3 Найти: AD; BD; AK; BK. А В D CO К Решение: Дано: ABC – равносторонний О – центр ABC CD (ABC); ОК || CD АB = 16 3, OK = 12; CD = А В C O

20 Домашнее задание 1. Повторить все определения и теоремы о перпендикулярности в пространстве 2. Решить задачу: А и В – точки, расположенные по одну сторону плоскости α. АС и ВD – перпендикуляры на эту плоскость. АС = 16 см, BD = 10 см, СD = 8 см. Вычислите расстояние между точками А и В.