МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ. - презентация

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ Факультет математики и информационных технологий Кафедра математического анализа Курсовая работа на тему Применение степенных рядов при вычислении определенных интегралов Выполнила: студентка 2 курса факультета математики и информационных технологий группы МИ-21 Исхакова Г. Р. Научный руководитель: к.ф.м.н., доцент кафедры математического анализа Сабитова Ю.К.

2 Цель Цель данной курсовой работы состоит в изучении степенных рядов и их применении для решения определенных интегралов.

3 Задачи Для достижения цели необходимо решить следующие задачи: изучить основные понятия степенного ряда; рассмотреть виды степенных рядов; изучить ряды Тейлора и Маклорена; применить полученные знания для вычисления определенных интегралов с помощью степенных рядов.

4 Понятие степенного ряда Функциональный ряд вида где не зависят от переменной, называется степенным относительно переменной рядом. А числа называются коэффициентами этого ряда.

5 Виды степенных рядов Степенные ряды, как и функциональные, делятся на два вида: вещественные степенные ряды – ряды, в которых может принимать только вещественные значения, и коэффициенты ряда – тоже вещественные числа; комплексные степенные ряды – ряды, в которых может принимать только комплексные значения, и коэффициенты ряда – тоже комплексные числа.

6 Теорема Абеля Если степенной ряд сходится при некотором, то он сходится абсолютно при всех значениях, для которых. Наоборот, если ряд расходится при, он расходится при всех значениях, для которых.

7 Круг сходимости ряда Для каждого степенного ряда существует такое вещественное не отрицательное число, что ряд при сходится, при расходится.

8 Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости Теорема. Степенной ряд сходится равномерно в любом замкнутом круге, содержащемся в его круге сходимости. Теорема(о непрерывности суммы ряда). В любой замкнутой области, лежащей внутри круга сходимости ряда, сумма рядов является непрерывной функцией.

9 Теорема о почленноеем интегрировании степенного вещественного ряда Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

10 Теорема о почленноеем интегрировании степенного комплексного ряда Если степенной ряд сходится равномерно на некоторой кривой, то его можно интегрировать вдоль этой кривой почленноее.

11 Ряд Тейлора и Маклорена Представление функции в виде ряда называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:

12 Схема вычисления определённых интегралов с использованием степенных рядов 1. Разложить подынтегральную функцию в ряд (обычно в ряд Маклорена). 2. Произвести почленноеее интегрирование членов записанного в первом пункте ряда. 3. Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью.

13 Вычисление интеграла с помощью степенного ряда Задание. Вычислить определенный интеграл с точностью до, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и проинтегрировать почленноее.

14 Решение. Начнем с разложения функции в ряд Маклорена. Запишем разложение функции в ряд Маклорена: Данное разложение верно при всех. Подставим вместо : Забирая из суммы первый член, получим: Следовательно:

15 Последнее, что остаётся – это разделить на : Интегрируем полученное разложение на отрезке : Так как, то для вычисления интеграла с точностью достаточно первого члена полученного числового ряда:

16 Заключение В данной курсовой работе была выполнена поставленная цель – изучить степенные ряды и их применение для решения определенных интегралов, через решение следующих задач: изучить основные понятия степенного ряда; рассмотреть виды степенных рядов; ряды Тейлора и Маклорена; применить полученные знания для вычисления определенных интегралов с помощью степенных рядов.